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\title{Ordre dans l'ensemble des réels, cours, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

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\maketitle

\tableofcontents


\newpage


\section{Inégalités}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, alors :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a\leq b$ si et seulement si $a-b$ est négatif;
\item[$\bullet$] $a \geq b$ si et seulement si $a-b$ est positif.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres réels :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ alors $a+c\leq b+c$ c'est à dire que le sens de l'inégalité ne change pas lorsque l'on ajoute le même nombre dans les deux membres ;
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c>0$ alors $ac\leq bc$ c'est à dire que le sens de l'inégalité ne change pas lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un même nombre strictement positif ;
\item[$\bullet$] si $a\leq  b$ et $c<0$ alors $ac\geq bc$ c'est à dire que le sens de l'inégalité change lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par le même nombre strictement négatif.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ alors $a-b\leq 0$ c'est à dire $a+c-c-b\leq 0$ donc $a+c-(b+c)\leq 0$ c'est à dire $a+c\leq b+c$ ;
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c>0$ alors $a-b\leq 0$ et $c(a-b)\leq 0$ donc $ca-cb\leq 0$ c'est à dire $ac\leq bc$.
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c<0$ alors $a-b\leq 0$ et $c(a-b)\geq 0$ donc $ca-cb\geq 0$ c'est à dire $ac\geq bc$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Encadrement de $-2\pi$ sachant que $3,14<\pi<3,15$.

On a $2\times 3,14<2\pi <2\times 3,15$ donc $6,28< 2\pi < 6,30$ et donc $-6,30<-2\pi <-6,28$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $a\geq b>0$ et $c\geq 0$, $\frac{a}{c}\geq \frac{b}{c}$ c'est à dire que si deux quotients positifs ont le même dénominateur alors le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur.
\nouvitem Si $a\geq b>0$ et $c\geq 0$, alors $\frac{c}{a}\leq \frac{c}{b}$ c'est à dire que si deux quotients positifs ont le même numérateur alors le plus grand est celui qui a le plus petit dénominateur.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Seul le deuxième cas n'est pas immédiat.\par 
$\frac{c}{a}-\frac{c}{b}=\frac{cb}{ab}-\frac{ca}{ab}$ donc $\frac{c}{a}-\frac{c}{b}=\frac{cb-ca}{ab}=\frac{c(b-a)}{ab}$.\\
Comme $a>0$, $b>0$ et $c>0$, de $a\geq b$ on déduit $b-a\leq 0$ d'où 
$\frac{c}{a}-\frac{c}{b}\leq 0$ donc $\frac{c}{a}\leq \frac{c}{b}$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $n$ un entier naturel non nul. On pose $a=\frac{n+3}{n+1}$ et $b=\frac{n+3}{n+2}$.\\
Alors $a\geq b$.
\end{sanscadre}


\section{Comparaison de $a$, $a^2$ et $a^3$}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $a\geq 1$, alors $a^3\geq a^2\geq a\geq 1$ ;
\nouvitem Si $0<a<1$, alors $a^3\leq a^2\leq a\leq 1$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On remarque que $a^3-a^2=a^2(a-1)$ et que $a^2-a=a(a-1)$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $a\geq 1$ alors $a-1\geq 0$ donc $a^2(a-1)\geq 0$ d'où $a^3-a^2\geq 0$ donc $a^3\geq a^2$.\\
En outre, $a(a-1)\geq 0$ donc $a^2-a\geq 0$ donc $a^2\geq a$.
\nouvitem Si $a\leq 1$, alors $a-1\leq 0$ donc $a^3(a-1)\leq 0$ d'où $a^3-a^3\leq 0$ donc $a^3\leq a^2$.\\
En outre, $a(a-1)\leq 0$ donc $a^2-a\leq 0$ donc $a^2\leq a$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\end{document}
