\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{listings}
\usepackage{setspace}

%\setlength\textwidth{15cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{22.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{15cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadrec}[2]{\noindent \color{#2}{\textbf{#1 :}}\par \noindent}{\bigskip\color{black}\par}

\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Nombres, cours, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

\usepackage[french,boxed,lined]{algorithm2e}
%\ configuration package algorithm
\SetKw{Retour}{Afficher}
\SetKwBlock{Traitement}{Début traitement}{Fin traitement.}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Nombres - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\begin{center}
{\LARGE \textbf{Ensembles de nombres, cours, 2nde}}
\end{center}



\section{Ensembles de nombres}

\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Définitions et notations}
On appelle :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] ensemble des nombres ................... .................., noté ............., l'ensemble constitué des nombres 0, 1, 2,...,99, 100,101, etc. ;
\item[$\bullet$] ensemble des nombres ................ ......................., noté ..............., l'ensemble constitué des nombres entiers naturels et de leurs opposés (par exemple -1, -11, 99, etc.) ;
\item[$\bullet$] ensemble des ............. .................., noté ................., l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{p}{10^n}$ où $p$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel c'est à dire avec une écriture à virgule comportant un nombre fini de chiffres après la virgule (par exemple $15,678 =\frac{15678}{10^3})$; 
\item[$\bullet$] ensemble des nombres ........................, noté ................., l'ensemble des quotients d'entiers relatifs c'est à dire des nombres qui peuvent s'écrire $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs et $b$ différent de 0.
\item[$\bullet$] Ensemble des nombres ..................., noté ......................, l'ensemble des abscisses des points de toute droite graduée (par exemple 1, -3, $\sqrt{2}$, $\pi$, etc.) ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|m{1.8cm}|m{4.5cm}|m{1.5cm}|m{3.1cm}|}
\hline
Appellation des nombres & Définition & Notation & Exemples \\
\hline
........... .......... & Dénombrent les individus d'une population & $\mathbb{N}$ &  0 ; 1 ; 2 ; 3 ;... ; 99 ; 100 ; 101 ; etc. \\
\hline
........... ............ & Entiers naturels et leurs opposés & $\mathbb{Z}$ & ... ;-76 ;-75 ;...\newline -2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 9 ; 10 ; 11 ; etc. \\
\hline
........ ............ & de la forme $\frac{p}{10^n}$ avec $p$ entier relatif et $n$ entier naturel & $\mathbb{D}$ & 1,3 ; 4,56 ; 98,4563 \\
\hline
............ ........... & de la forme $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs et $b$ non nul & $\mathbb{Q}$ & $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{3}$ \\
\hline
............ ............ & Abscisses des points de toute droite graduée & $\mathbb{R}$ & 1 ; 2,3 ; $\sqrt{2}$ ; $\pi$ ;\\
\hline
\end{tabular}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{nombrescoursinclusionensemblesimg2nde.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété, définition et notation}
\begin{itemize}
\nouvitem Tout nombre \emphref{entier naturel} est aussi un nombre entier relatif, un nombre décimal, un nombre rationnel et un nombre réel ;
\nouvitem tout nombre \emphref{entier relatif} est aussi un nombre décimal, un nombre rationnel et un nombre réel ;
\nouvitem tout nombre \emphref{décimal} est aussi un nombre rationnel et un nombre réel ;
\nouvitem tout nombre \emphref{rationnel} est aussi un nombre réel .
\end{itemize}
Pour traduire cette propriété, on dit que l'ensemble des entiers naturels est .................. dans l'ensemble des entiers relatifs, lui-même ............... dans l'ensemble des nombres décimaux. L'ensemble des nombres décimaux est lui-même .................. dans l'ensemble des nombres rationnels qui est lui aussi ..................... dans l'ensemble des nombres réels. On note ainsi :
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
où le symbole $A \subset B$ (lire \og{}A ................. dans B\fg{}) signifie que tous les nombres de l'ensemble $A$ appartiennent aussi à l'ensemble $B$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $n$ est un nombre entier naturel, il est évidemment relatif, mais aussi décimal car il s'écrit $\frac{n}{10^0}$. Il est aussi rationnel car il s'écrit $\frac{n}{1}$.
\nouvitem même raisonnement pour ce qui concerne les entiers relatifs ;
\nouvitem Tout nombre décimal s'écrit $\frac{p}{10^n}$ avec $p$ entier relatif et $n$ entier naturel ce qui montre que c'est aussi un nombre rationnel .
\nouvitem De manière évidente, les nombres rationnels sont des abscisses de points de toute droite graduée.
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $5$ est un nombre entier naturel. Il est aussi : \\
....\\
.....\\
\nouvitem $345,6782$ est un nombre décimal. Il est aussi :\\
...
\nouvitem $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal.\\
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Il existe des nombres \emphref{réels} qui ne sont pas \emphref{rationnels}. On les appelle des nombres ............................ . Le nombre $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. Nous le montrerons dans le paragraphe sur les nombres premiers. Nous admettrons que le nombre $\pi$ est un autre exemple de nombre irrationnel.
\end{encadrer}

La propriété suivante permet de distinguer les nombres \emphref{rationnels} des nombres \emphref{irrationnels} :

\begin{encadrer}{Propriété}
Un nombre réel est \emphref{rationnel} si et seulement si il admet une écriture décimale illimitée qui est .............................. ,c'est à dire constituée d'une série de chiffres après la virgule qui ......... .................... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\frac{19}{11}\approx 1,7272727272$ de période 72 ;
\item[$\bullet$] $\sqrt{2}\approx 1,414213562$ d'écriture non périodique ;
\item[$\bullet$] $\frac{3}{7}\approx 0,428571428$ de période 428571 ;
\nouvitem les nombres décimaux ont évidemment une écriture décimale illimitée périodique dont la période est 0 : par exemple 3,45 s'écrit 3,450000....
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage

%
%\section{Intervalles de nombres réels}
%
%\begin{encadrer}{Définition}
% On appelle ensemble des nombres .........................., noté ..............., l'ensemble des abscisses des points de toute droite graduée (par exemple 1, -3, $\sqrt{2}$, $\pi$, etc.) ;
%\end{encadrer}
%
%
%
%\begin{encadrer}{Définitions}
%\begin{onehalfspace}
%Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a$ inférieur strictement à $b$.
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] $[a;b]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que ...................... . On l'appelle ........................ ........................ d'extrémités $a$ et $b$.
%\item[$\bullet$] $]a;b[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que .................... . On l'appelle ........................ ........................ d'extrémités $a$ et $b$.
%\item[$\bullet$] $[a;b[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que .................... . Cet intervalle est dit ................. en $b$ et ................. en $a$.
%\item[$\bullet$] $[a;+\infty[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que ............... .
%\item[$\bullet$] $]-\infty ;b[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que ................. .
%\end{itemize}
%\end{onehalfspace}
%\end{encadrer}
%
%
%
%\begin{sanscadre}{Exemples de représentation sur une droite graduée}
%\begin{center}
%\pdfrowcolors{}
%\begin{tabular}{|c|m{2cm}|c|m{2cm}|c|m{2cm}|}
%\hline
%.............. & 
%\includegraphics[width=2cm]{ordrecours2ndeimgintervalle2.pdf} &
%.............. & 
%\includegraphics[width=2cm]{ordrecours2ndeimgintervalle1.pdf} &
%.............. & \includegraphics[width=2cm]{ordrecours2ndeimgintervalle3.pdf} \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{sanscadre}
%
%
%\begin{encadrer}{Définition}
%Soient $I$ et $J$ deux intervalles.
%\begin{itemize}
%\nouvitem \emphref{L'intersection} de $I$ et $J$ notée $I\cap J$ est l'ensemble des nombres qui  appartiennent ................ .................... ................ ................ ............ .
%\nouvitem \emphref{La réunion} de $I$ et $J$ notée $I\cup J$ est l'ensemble des nombres qui appartiennent .................. .................... ................... ...................... ..................... .................
%\nouvitem Lorsque les intervalles $I$ et $J$ n'ont aucun point commun, leur intersection est ................. ..................... noté ..................... . On dit aussi que les intervalles sont ............................ .
%\end{itemize}
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles]}
%\begin{tabular}{lr}
%\begin{minipage}{8cm}
%Soit $I=[-5 ; -1]$ et $J=[-2;3]$.\\
%L'intersection $I ..... J$ est ................ .\\
%La réunion $I ..... J$ est ............... .
%\end{minipage}
%&
%\begin{minipage}{8cm}
%\includegraphics[width=8cm]{intervallesReunionIntersectionImgIncomplete.png}
%\end{minipage}
%\end{tabular}
%\end{sanscadre}


\section{\'Egalités et équations}

\subsection{Définitions}

\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Une \emphref{égalité} est une affirmation qui utilise le signe $=$ et qui est soit ............, soit .............
\nouvitem Une \emphref{équation} est une égalité où figure un nombre .................. .\par
......................... une équation c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l'égalité soit vraie : ces valeurs sont les ..................... de l'équation.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{Règles de conservation des égalités}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $c$ un nombre réel. $a=b$ si et seulement si .............\par
c'est à dire qu'une égalité ne change pas d'état (donc reste vraie si elle était vraie et fausse si elle était fausse) en ................. (ou en ......................) le ............. nombre réel des deux côtés de l'égalité.
\nouvitem Soit $c$ un nombre réel tel que $c\neq 0$. $a=b$ si et seulement si .......... \par 
c'est à dire qu'une égalité ne change pas d'état en ................ (ou en .................) par le ................... nombre réel non nul des deux côtés de l'égalité.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\subsection{Résolution d'équations}

\begin{encadrer}{Définition}
Une \emphref{équation du premier degré} est une équation qui peut s'écrire sous la forme ...................... avec $a$ et $b$ réels et $x$ l'inconnue.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre une équation du premier degré]}
Résolvons l'équation $3(4+x)=x - 6$.\\
 ...................................\\
.............................\\
....................................\\
 .............................. \\
.................... \\
.......... .\\
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout réel $k>0$, l'équation $x^2=k$ admet ....... .................. :\par 
$\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$.
\nouvitem Pour tout réel $k<0$, l'équation $x^2=k$ ...................... ................... ....................... ....................
\nouvitem L'équation $x^2=0$ admet ......... ................... ....................... ...........
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre une équation se ramenant à la forme $x^2=k$}
Résolvons l'équation $3x^2+8=80$\\
....\\
...\\
....\\
....\\
....
\end{sanscadre}


\section{Racine carrée d'un nombre réel positif}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ un réel positif. La \emphref{racine carrée} de $a$ est le nombre ................... dont .......... ............. ............. . \\
On le note ............. . \\
On a donc $\sqrt{a} ...... 0$ et $\sqrt{a}^2=$........ .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $\sqrt{144}=$....... ;
\nouvitem $\sqrt{2}$ n'a pas de valeur décimale. Une valeur décimale approchée est $\sqrt{2}\approx 1,41$
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $a$ un réel positif. Alors $\sqrt{a^2}=$.............. .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$a$ est un nombre positif dont le carré vaut $a^2$ donc c'est la racine carrée de $a^2$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $a$ et $b$ deux nombre réels positifs. Alors :
\begin{itemize}
\nouvitem $\sqrt{ab}=$................. ;
\nouvitem si $b\neq 0$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=$................................. ;
\nouvitem si $n$ est un entier naturel, $\sqrt{a^n}=$.................. .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $(\sqrt{a}\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2=ab$.\\
donc $\sqrt{a}\sqrt{b}$ est un réel positif dont le carré est $ab$. \\
Comme ce réel est unique et noté $\sqrt{ab}$, on a donc l'égalité annoncée.
\nouvitem $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2=\frac{\sqrt{a}^2}{\sqrt{b}^2}=\frac{a}{b}$\\
Donc $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ est un réel positif dont le carré est $\frac{a}{b}$. 
\\ Comme un tel réel est unique est noté $\sqrt{\frac{a}{b}}$, on a l'égalité annoncée.
\nouvitem $\sqrt{a^n}=\sqrt{a\times...\times a}=\sqrt{a}\times....\times\sqrt{a}$ par répétition de la première propriété.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir simplifier l'écriture d'une racine carrée]}
\begin{onehalfspace} Mettre $\sqrt{90}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers naturels et $b$ le plus petit possible :\\
...
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}




\section{Différentes écritures des nombres : factorisation, développement}



\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$, $b$ et $k$ :
$$..................$$
$$..................$$
\emphref{forme ................, produit} \hfill \emphref{forme ................, somme}
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$ et $b$ on a les \emph{identités remarquables} suivantes :
$$.....................$$
$$.....................$$
$$.....................$$
\emphref{forme ................., produit} \hfill \emphref{forme ...................., somme}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir développer l'expression d'un nombre]}
\begin{itemize}
\nouvitem Développer $A(x)=(2x+4)(x-5)$.
...\\
...\\
...\\
...\\
\nouvitem Résoudre l'équation $(x+3)^2-x^2=10$.
...\\
...\\
....\\
...\\
\end{itemize}
\end{sanscadre}




\section{Différentes écritures des nombres : puissances}

\begin{encadrer}{Propriétés, règles de calcul sur les puissances}
\begin{doublespace}
Pour tous les réels $a$ et $b$ et tous les entiers naturels $n$ et $p$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $a^{n}a^{p}=$............
\nouvitem $a^{-n}=$................
\nouvitem $\dfrac{a^n}{a^p}=$............
\nouvitem $(a^n)^p=$..............
\nouvitem $a^0=$......... et $a^1=$........
\nouvitem $(ab)^n=$.................
\end{itemize}
\end{doublespace}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
La \emphref{notation scientifique} d'un nombre décimal est de la forme :
$$........................$$
avec :
\begin{itemize}
\nouvitem $a$ nombre décimal tel que ................. ;
\nouvitem $p$ nombre ............. ................ .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Distance moyenne de la Terre à la Lune : 180 000 km soit ........................... .
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Divisibilité dans l'ensemble des entiers naturels}



\subsection{Définitions}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b\neq 0$. Dire que $b$ est un \emphref{diviseur} de $a$ signifie que le quotient $\dfrac{a}{b}$ est .................. ................., c'est à dire que $a=$.......... avec $n\in$....... .

On dit alors aussi que $a$ est un ................... de $b$ ou que $a$ est ...................... par $b$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
3 est un diviseur de 24 car ....................... . 0 a une infinité de diviseurs.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $b$ et $c$ sont deux entiers naturels multiples d'un entier naturel $a$, alors .............. est un multiple de $a$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
Si $b$ et $c$ sont multiples de $a$ alors il existe deux entiers naturels $k_1$ et $k_2$ tels que $b=$...... et $c=$......... . D'où $b+c=$................................. . Donc ............. est un multiple de $a$.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $n$ un entier naturel. 
\begin{itemize}
\nouvitem $n$ est un \emphref{nombre pair} s'il est divisible par 2 c'est à dire s'il existe un un entier naturel $k$ tel que ................ ;
\nouvitem $n$ est un \emphref{nombre impairs} s'il existe un entier naturel $k$ tel que .............. .
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $n$ est un entier pair alors $n^2$ est un nombre ................. .
\nouvitem Si $n$ est un entier impair alors $n^2$ est un entier ................ .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem En effet, si $n$ est un entier pair alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n=$....... . D'où $n^2=$................................. donc $n^2$ est .............. .
\nouvitem Si $n$ est impair alors $n=$............... où $k$ est un entier naturel, alors $n^2=$........................................... donc $n^2$ est .............. .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$}
En effet, supposons que le nombre $\pi$ soit un nombre rationnel. Alors, on peut l'écrire $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers naturels et tels que la fraction $\frac{a}{b}$ soit irréductible. Alors on aurait $\sqrt{2}^2=(\frac{a}{b})^2$ donc $2=\frac{a^2}{b^2}$ et $2b^2=a^2$.
Donc $a^2$ serait un multiple de 2 ce qui signifierait que 2  divise $a$ lui-même. D'où $a^2$ serait multiple de 4 et donc $b^2$ serait multiple de 2 donc $b$ serait multiple de 2 : c'est impossible, la fraction $\frac{a}{b}$ serait alors simplifiable par 2 alors que l'on a supposé qu'elle était irréductible.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
Un \emphref{nombre premier} est un nombre entier naturel qui a exactement deux diviseurs : ....... et ...................... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 5 est un nombre premier.
\item[$\bullet$] 10 n'est pas premier car divisible par .... .
\item[$\bullet$] 0 et 1 ne sont pas premiers.
\item[$\bullet$] 2 est l'unique nombre premier pair.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Ne pas confondre un \emphref{nombre premier} avec des \emphref{nombres premiers entre eux} : deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Par exemple, 10 et 27 sont premiers entre eux car leur plus grand diviseur commun est 1 mais 10 n'est pas premier car divisible par 2 ou 5 et 27 n'est pas premier car divisible par 3.
\end{sanscadre}

\subsection{Reconnaissance de nombres premiers}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $n$ un entier naturel non nul. Si $n$ n'est pas premier, alors il est divisible par un .............. .................... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Si $n$ n'est pas premier alors il admet un diviseur $a_1$ distinct de 1 et de $n$. $a_1$ est nécessairement strictement inférieur à $n$. Si $a$ n'est pas premier, à nouveau il est divisible par un nombre $a_2$ strictement inférieur à $a_1$. Et ainsi de suite. Si aucun des nombres $a_1$, $a_2$, etc, n'était premier on pourrait construire une infinité de nombres tous distincts et de plus en plus petits et donc proche de 0 ce qui n'est pas possible car il n'y a qu'un nombre fini de nombres entre 0 et $n$. Par conséquent, l'un au moins des nombres $a_1$, $a_2$, etc. construit est un nombre premier et c'est en outre un diviseur de $n$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
$100$ n'est pas premier car divisible par 1, 100 et 10 par exemple. $2$ en est un diviseur premier. $12$ n'est pas premier, il est divisible par $2$ qui est premier.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $n$ un entier naturel non nul. Si aucun nombre entier naturel différent de 1 et inférieur strictement à .............. n'est un diviseur de $n$, alors $n$ est un \emphref{nombre premier}.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Supposons que $n$ ne soit pas premier. Alors il existe $a$ et $b$ entiers naturels différents de 1 et $n$ tels que $n=ab$. On peut supposer que $a\leq b$. Alors $ab \geq a^2$ et donc $n\geq a^2$ donc $\sqrt{n} \geq a$. Par conséquent, $n$ admet un diviseur plus petit que $\sqrt{n}$. Par suite, on en déduit que si $n$ n'admet aucun diviseur strictement inférieur à $\sqrt{n}$ alors $n$ est premier.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère le nombre 101.

$\sqrt{101}\approx 10$.

2, 3 et 5 ne sont pas des diviseurs de 101 de manière évidente (critères de divisibilité).
$101\div 7\approx 14,4$
Par conséquent, 101 est premier.
\end{sanscadre}


\end{document}

