<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{listings}

%\setlength\textwidth{15cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{22.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{15cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadrec}[2]{\noindent \color{#2}{\textbf{#1 :}}\par \noindent}{\bigskip\color{black}\par}

\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Nombres, cours, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

\usepackage[french,boxed,lined]{algorithm2e}
%\ configuration package algorithm
\SetKw{Retour}{Afficher}
\SetKwBlock{Traitement}{Début traitement}{Fin traitement.}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Nombres - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\abstract{L'objet de ce thème est une synthèse approfondie de la nature des différents nombres déjà rencontrés et des différentes écritures de ces nombres, certaines se révélant plus adaptées à telle ou telle utilisation. On insistera aussi sur la distinction entre la valeur exacte d'un nombre de ses valeurs approchées}

\tableofcontents


\newpage

\section{Ensembles de nombres}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définitions et notations}
On appelle :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] ensemble des nombres entiers \emphref{naturels}, noté $\mathbb{N}$, l'ensemble constitué des nombres 0, 1, 2,...,99, 100,101, etc. ;
\item[$\bullet$] ensemble des nombres entiers \emphref{relatifs}, noté $\mathbb{Z}$, l'ensemble constitué des nombres entiers naturels et de leurs opposés (par exemple -1, -11, 99, etc.) ;
\item[$\bullet$] ensemble des nombres \emphref{décimaux}, noté $\mathbb{D}$, l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{p}{10^n}$ où $p$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel c'est à dire avec une écriture à virgule comportant un nombre fini de chiffres après la virgule (par exemple $15,678 =\frac{15678}{10^3})$; 
\item[$\bullet$] ensemble des nombres \emphref{rationnels}, noté $\mathbb{Q}$, l'ensemble des quotients d'entiers relatifs c'est à dire des nombres qui peuvent s'écrire $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs et $b$ différent de 0.
\item[$\bullet$] Ensemble des nombres \emphref{réels}, noté $\mathbb{R}$, l'ensemble des abscisses des points de toute droite graduée (par exemple 1, -3, $\sqrt{2}$, $\pi$, etc.) ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|m{1.8cm}|m{4.5cm}|m{1.5cm}|m{3.1cm}|}
\hline
Appellation des nombres &amp; Définition &amp; Notation &amp; Exemples \\
\hline
Entiers naturels &amp; Dénombrent les individus d'une population &amp; $\mathbb{N}$ &amp;  0 ; 1 ; 2 ; 3 ;... ; 99 ; 100 ; 101 ; etc. \\
\hline
Entiers relatifs &amp; Entiers naturels et leurs opposés &amp; $\mathbb{Z}$ &amp; ... ;-76 ;-75 ;...\newline -2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 9 ; 10 ; 11 ; etc. \\
\hline
Nombres décimaux &amp; de la forme $\frac{p}{10^n}$ avec $p$ entier relatif et $n$ entier naturel &amp; $\mathbb{D}$ &amp; 1,3 ; 4,56 ; 98,4563 \\
\hline
Nombres rationnels &amp; de la forme $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs et $b$ non nul &amp; $\mathbb{Q}$ &amp; $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{3}$ \\
\hline
Nombres réels &amp; Abscisses des points de toute droite graduée &amp; $\mathbb{R}$ &amp; 1 ; 2,3 ; $\sqrt{2}$ ; $\pi$ ;\\
\hline
\end{tabular}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{nombrescoursinclusionensemblesimg2nde.png}
\end{center}
\newpage

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Propriété, définition et notation}
\begin{itemize}
\nouvitem Tout nombre \emphref{entier naturel} est aussi un nombre entier relatif, un nombre décimal, un nombre rationnel et un nombre réel ;
\nouvitem tout nombre \emphref{entier relatif} est aussi un nombre décimal, un nombre rationnel et un nombre réel ;
\nouvitem tout nombre \emphref{décimal} est aussi un nombre rationnel et un nombre réel ;
\nouvitem tout nombre \emphref{rationnel} est aussi un nombre réel.
\end{itemize}
Pour traduire cette propriété, on dit que l'ensemble des entiers naturels est \emph{inclus} dans l'ensemble des entiers relatifs, lui-même inclus dans l'ensemble des nombres décimaux. L'ensemble des nombres décimaux est lui-même inclus dans l'ensemble des nombres rationnels qui est lui aussi inclus dans l'ensemble des nombres réels. On note ainsi :
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
où le symbole $A \subset B$ (lire \og{}A inclus dans B\fg{}) signifie que tous les nombres de l'ensemble $A$ appartiennent aussi à l'ensemble $B$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $n$ est un nombre entier naturel, il est évidemment relatif, mais aussi décimal car il s'écrit $\frac{n}{10^0}$. Il est aussi rationnel car il s'écrit $\frac{n}{1}$.
\nouvitem même raisonnement pour ce qui concerne les entiers relatifs ;
\nouvitem Tout nombre décimal s'écrit $\frac{p}{10^n}$ avec $p$ entier relatif et $n$ entier naturel ce qui montre que c'est aussi un nombre rationnel.
\nouvitem De manière évidente, les nombres rationnels sont des abscisses de points de toute droite graduée.
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $5$ est un nombre entier naturel. Il s'écrit aussi $5,0$ donc c'est un nombre décimal et il s'écrit encore $\frac{5}{1}$ donc c'est un rationnel.
\nouvitem $345,6782$ est un nombre décimal. Il s'écrit aussi $\frac{3456782}{10000}$ donc c'est un nombre rationnel.
\nouvitem $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal. En effet, s'il l'était, on pourrait écrire $\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n}$ où $a$ et $n$ sont des entiers naturels.\\
D'où on aurait $10^n=3a$ par un produit en croix, ce qui impliquerait que 3 divise $10^n$ et donc que $3$ divise 10 ce qui est absurde. Donc $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Il existe des nombres \emphref{réels} qui ne sont pas \emphref{rationnels}. On les appelle des nombres \emphref{irrationnels}. Le nombre $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel (démonstration ci-dessous). Nous admettrons que le nombre $\pi$ est un autre exemple de nombre irrationnel.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$}
C'est une preuve dite \og{}Par l'absurde\fg{} : on suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel et on va montrer que cela mène à une absurdité.\\
Si $\sqrt{2}$ est rationnel, alors on peut trouver deux nombres entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ et tels que $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun, c'est à dire tels que $\frac{a}{b}$ est irréductible.\\
D'où on aurait en élevant au carré $2=\frac{a^2}{b^2}$ et $2b^2=a^2$. Donc 2 diviserait $a^2$ et donc 2 diviserait $a$. On aurait donc $a=2n$ avec $n$ entier relatif. D'où $2b^2=(2n)^2$ donc $b^2=2n^2$.\\
Cela signifie que 2 diviserait $b^2$ donc que 2 diviserait $b$, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse que $\frac{a}{b}$ est irréductible.\\
La supposition initiale est donc fausse, c'est à dire $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.
\end{sanscadre}

La propriété suivante permet de distinguer les nombres \emphref{rationnels} des nombres \emphref{irrationnels} :

\begin{encadrer}{Propriété}
Un nombre réel est \emphref{rationnel} si et seulement si il admet une écriture décimale illimitée qui est \emphref{périodique} (c'est à dire constituée d'une série de chiffres après la virgule qui se répète).
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\frac{19}{11}\approx 1,7272727272$ de période 72 ;
\item[$\bullet$] $\sqrt{2}\approx 1,414213562$ d'écriture non périodique ;
\item[$\bullet$] $\frac{3}{7}\approx 0,428571428$ de période 428571 ;
\nouvitem les nombres décimaux ont évidemment une écriture décimale illimitée périodique dont la période est 0 : par exemple 3,45 s'écrit 3,450000....
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Valeurs approchées}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Un encadrement d'un nombre réel $x$ est la donnée de deux nombres décimaux $a$ et $b$ tels que $a\leq x\leq b$. $b-a$ est appelé \emphref{amplitude} de l'encadrement. L'encadrement est dit à $10^{-n}$ près avec $n$ entier si son amplitude est $10^{-n}$.
\nouvitem L'arrondi à $10^{-n}$ de $x$ est celui parmi $a$ et $b$ qui est le plus proche de $x$. Dans le cas où $a$ et $b$ sont à égale distance de $x$, l'arrondi de $x$ est $b$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$\frac{1}{3}$ admet pour encadrement à $10^{-3}$ près $0,333\leq \frac{1}{3}\leq 0,334$.\\
$\sqrt{2}$ admet pour encadrement à $10^{-2}$ près $1,41\leq \sqrt{2}\leq 1,42$.
\end{sanscadre}
\newpage


\section{Intervalles de nombres réels}



\begin{encadrer}{Définitions}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a$ inférieur strictement à $b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $[a;b]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x\leq b$. On l'appelle \emphref{intervalle fermé} d'extrémités $a$ et $b$.
\item[$\bullet$] $]a;b[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a&lt;x&lt;b$. On l'appelle \emphref{intervalle ouvert} d'extrémités $a$ et $b$.
\item[$\bullet$] $[a;b[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x&lt;b$. Cet intervalle est dit \emph{ouvert} en $b$ et \emph{fermé} en $a$.
\item[$\bullet$] $[a;+\infty[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $x\geq a$.
\item[$\bullet$] $]-\infty ;b[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $x&lt;b$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemples de représentation sur une droite graduée}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|m{2cm}|}
\hline
$]a;b[$ &amp; 
\includegraphics[width=2cm]{ordrecours2ndeimgintervalle2.pdf} \\
\hline
$[a;b]$ &amp; 
\includegraphics[width=2cm]{ordrecours2ndeimgintervalle1.pdf} \\
\hline
$]-\infty;b[$ &amp; \includegraphics[width=2cm]{ordrecours2ndeimgintervalle3.pdf}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
Soient $I$ et $J$ deux intervalles.
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{L'intersection} de $I$ et $J$ notée $I\cap J$ est l'ensemble des nombres qui  appartiennent à la fois à $I$ \emphref{et} à $J$.
\nouvitem \emphref{La réunion} de $I$ et $J$ notée $I\cup J$ est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I \emphref{ou} à J, c'est à dire, soit à $I$, soit à $J$, soit aux deux.
\nouvitem Lorsque les intervalles $I$ et $J$ n'ont aucun point commun, leur intersection est \emphref{l'ensemble vide} noté $\emptyset$. On dit aussi que les intervalles sont \emphref{disjoints}.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles]}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{intervallesReunionIntersectionImg.png}
\end{center}
Soit $I=[-5 ; -1]$ et $J=[-2;3]$.\\
L'intersection $I\cap J$ est $[-2 ; -1]$.\\
La réunion $I\cup J$ est $[-5 ; 3]$.
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Racine carrée d'un nombre réel positif}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ un réel positif. La \emphref{racine carrée} de $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. On le note $\sqrt{a}$. On a donc $\sqrt{a}\geq 0$ et $\sqrt{a}^2=a$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $\sqrt{144}=12$ ;
\nouvitem $\sqrt{2}$ n'a pas de valeur décimale. Une valeur décimale approchée est $\sqrt{2}\approx 1,41$
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $a$ un réel positif. Alors $\sqrt{a^2}=a$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$a$ est un nombre positif dont le carré vaut $a^2$ donc c'est la racine carrée de $a^2$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $a$ et $b$ deux nombre réels positifs. Alors :
\begin{itemize}
\nouvitem $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ ;
\nouvitem si $b\neq 0$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ;
\nouvitem si $n$ est un entier naturel, $\sqrt{a^n}=\sqrt{a}^n$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $(\sqrt{a}\sqrt{b})^2=\sqrt{a}^2\times \sqrt{b}^2=ab$ donc $\sqrt{a}\sqrt{b}$ est un réel positif dont le carré est $ab$. Par unicité d'un tel réel, on a le résultat.
\nouvitem $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2=\frac{\sqrt{a}^2}{\sqrt{b}^2}=\frac{a}{b}$. Donc $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ est un réel positif dont le carré est $\frac{a}{b}$. Par unicité d'un tel réel, on a le résultat.
\nouvitem $\sqrt{a^n}=\sqrt{a\times...\times a}=\sqrt{a}\times....\times\sqrt{a}$ par répétition de la première propriété.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir simplifier l'écriture d'une racine carrée]}
$\sqrt{90}=\sqrt{9\times 10}=\sqrt{9}\sqrt{10}=3\sqrt{10}$
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Différentes écritures des nombres : factorisation, développement}

\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$, $b$ et $k$ :
$$k(a+b)=ka+kb$$
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
\emphref{forme factorisée, produit} \hfill \emphref{forme développée, somme}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$ et $b$ on a les \emph{identités remarquables} suivantes :
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
\emphref{forme factorisée, produit} \hfill \emphref{forme développée, somme}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$ par la double distributivité
\nouvitem De même, $(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$
\nouvitem $(a-b)(a+b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-bb^2$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir développer l'expression d'un nombre]}
$(3+\sqrt{5})^2=3^2+2\times 3\times \sqrt{5}+\sqrt{5}^2=9+6\sqrt{5}+25=34+6\sqrt{5}$\\
d'après l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.\\
$34+6\sqrt{5}$ est la forme développée réduite du nombre $(3+\sqrt{5})^2$.
Remarque : $(3+\sqrt{5})^2\neq 9+ 25$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{quantité conjuguée} du nombre $a+b\sqrt{c}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs et $c$ un entier naturel, le nombre $a-b\sqrt{c}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir utiliser la quantité conjuguée]}
On considère le nombre réel $\frac{3}{\sqrt{5}+1}$. On souhaite obtenir une écriture de ce nombre qui ne contienne plus de racine carrée au dénominateur. La calculatrice affiche en effet $\frac{-3+3\sqrt{5}}{4}$ à la place.\\
Pour cela, on multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée $1-\sqrt{5}$ de $1+\sqrt{5}$.\\
$\dfrac{3}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{3(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}=\dfrac{3-3\sqrt{5}}{1^2-\sqrt{5}^2}=\dfrac{3-3\sqrt{5}}{-4}$\\
en utilisant l'identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. 
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Différentes écritures des nombres : les puissances}

%\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir développer une écriture littérale]}
%\begin{itemize}
%\nouvitem Pour tout réel $x$, $A(x)=(2x + 4)(x - 5) =2x\times x + 4x - 2x\times 5 - 20$ par la double distributivité\\
%Donc $A(x)=2x^2 + 4x - 10x - 20 = 2x^2 - 6x - 20$
%\nouvitem Pour tout réel $x$, $B(x)=(x-2)^2+28=x^2-2\times 2\times x + 2^2 + 28$ d'après l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$\\
%Donc $B(x)=x^2-4x+32=g(x)$
%\end{itemize}
%\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés, règles de calcul sur les puissances}
Pour tous les réels $a$ et $b$ et tous les entiers naturels $n$ et $p$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $a^{n}a^{p}=a^{n+p}$
\nouvitem $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
\nouvitem $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$
\nouvitem $(a^n)^p=a^{np}$
\nouvitem $a^0=1$ et $a^1=a$
\nouvitem $(ab)^n=a^nb^n$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
La \emphref{notation scientifique} d'un nombre décimal est de la forme :
$$a\times 10^p$$
avec :
\begin{itemize}
\nouvitem $a$ nombre décimal tel que $-1&lt;a&lt;1$ ;
\nouvitem $p$ nombre entier relatif.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Distance moyenne de la Terre à la Lune : 180 000 km soit $1,8\times 10^5$\:km.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Divisibilité dans l'ensemble des entiers naturels}



\subsection{Définitions}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b\neq 0$. Dire que $b$ est un \emphref{diviseur} de $a$ signifie que le quotient $\frac{a}{b}$ est un entier naturel, c'est à dire que $a=bn$ avec $n\in\mathbb{N}$.

On dit alors aussi que $a$ est un \emphref{multiple} de $b$ ou que $a$ est \emphref{divisible} par $b$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
3 est un diviseur de 24 car $3\times 8=24$. 0 a une infinité de diviseurs.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $b$ et $c$ sont deux entiers naturels multiples d'un entier naturel $a$, alors $b+c$ est un multiple de $a$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Si $b$ et $c$ sont multiples de $a$ alors il existe deux entiers naturels $k_1$ et $k_2$ tels que $b=k_1a$ et $c=k_2a$. D'où $b+c=k_1a+k_2a=(k_1+k_2)a$. Donc $b+c$ est un multiple de $a$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $n$ un entier naturel. 
\begin{itemize}
\nouvitem $n$ est un \emphref{nombre pair} s'il est divisible par 2 c'est à dire s'il existe un un entier naturel $k$ tel que $n=2k$ ;
\nouvitem $n$ est un \emphref{nombre impairs} s'il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k+1$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $n$ est un entier pair alors $n^2$ est un nombre pair.
\nouvitem Si $n$ est un entier impair alors $n^2$ est un entier impair.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem En effet, si $n$ est un entier pair alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k$. D'où $n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)$ donc $n^2$ est pair.
\nouvitem Si $n=2k+1$ où $k$ est un entier naturel, alors $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ donc $n^2$ est impair.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$}
En effet, supposons que le nombre $\pi$ soit un nombre rationnel. Alors, on peut l'écrire $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers naturels et tels que la fraction $\frac{a}{b}$ soit irréductible. Alors on aurait $\sqrt{2}^2=(\frac{a}{b})^2$ donc $2=\frac{a^2}{b^2}$ et $2b^2=a^2$.
Donc $a^2$ serait un multiple de 2 ce qui signifierait que 2  divise $a$ lui-même. D'où $a^2$ serait multiple de 4 et donc $b^2$ serait multiple de 2 donc $b$ serait multiple de 2 : c'est impossible, la fraction $\frac{a}{b}$ serait alors simplifiable par 2 alors que l'on a supposé qu'elle était irréductible.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
Un \emphref{nombre premier} est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui même.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 5 est un nombre premier.
\item[$\bullet$] 10 n'est pas premier car divisible par 2.
\item[$\bullet$] 0 et 1 ne sont pas premiers.
\item[$\bullet$] 2 est l'unique nombre premier pair.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Ne pas confondre un \emphref{nombre premier} avec des \emphref{nombres premiers entre eux} : deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Par exemple, 10 et 27 sont premiers entre eux car leur plus grand diviseur commun est 1 mais 10 n'est pas premier car divisible par 2 ou 5 et 27 n'est pas premier car divisible par 3.
\end{sanscadre}

\subsection{Reconnaissance de nombres premiers}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $n$ un entier naturel non nul. Si $n$ n'est pas premier, alors il est divisible par un \emphref{nombre premier}.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Si $n$ n'est pas premier alors il admet un diviseur $a_1$ distinct de 1 et de $n$. $a_1$ est nécessairement strictement inférieur à $n$. Si $a$ n'est pas premier, à nouveau il est divisible par un nombre $a_2$ strictement inférieur à $a_1$. Et ainsi de suite. Si aucun des nombres $a_1$, $a_2$, etc, n'était premier on pourrait construire une infinité de nombres tous distincts et de plus en plus petits et donc proche de 0 ce qui n'est pas possible car il n'y a qu'un nombre fini de nombres entre 0 et $n$. Par conséquent, l'un au moins des nombres $a_1$, $a_2$, etc. construit est un nombre premier et c'est en outre un diviseur de $n$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
$100$ n'est pas premier car divisible par 1, 100 et 10 par exemple. $2$ en est un diviseur premier. $12$ n'est pas premier, il est divisible par $2$ qui est premier.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $n$ un entier naturel non nul. Si aucun nombre entier naturel différent de 1 et inférieur strictement à $\sqrt{n}$ n'est un diviseur de $n$, alors $n$ est un \emphref{nombre premier}.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Supposons que $n$ ne soit pas premier. Alors il existe $a$ et $b$ entiers naturels différents de 1 et $n$ tels que $n=ab$. On peut supposer que $a\leq b$. Alors $ab \geq a^2$ et donc $n\geq a^2$ donc $\sqrt{n} \geq a$. Par conséquent, $n$ admet un diviseur plus petit que $\sqrt{n}$. Par suite, on en déduit que si $n$ n'admet aucun diviseur strictement inférieur à $\sqrt{n}$ alors $n$ est premier.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir reconnaître si un nombre est premier]}
On considère le nombre 101.

$\sqrt{101}\approx 10$.

2, 3 et 5 ne sont pas des diviseurs de 101 de manière évidente (critères de divisibilité).
$101\div 7\approx 14,4$
Par conséquent, 101 est premier.
\end{sanscadre}


\end{document}

</pre></body></html>