\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{times}
\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage{amsfonts,amssymb}
\usepackage{multicol}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=1.3cm, right=1.3cm, top=1.3cm, bottom=1.3cm]{geometry}
\usepackage{setspace}
\author{F.Gaudon}
\title{\'Etudes de signes et inéquations, cours de seconde}


\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}

\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}


\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\begin{document}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{\'Etudes de signes et inéquations, cours, 2nde}}
\end{center}



\section{\'Etude du signe des fonctions affines}



\begin{sanscadre}{Synthèse}

\begin{flushleft}
Si $m>0$
\end{flushleft}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|lcccr|}
$x$ & $-\infty$ & & ....... & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & ... & \\
$mx+p$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{flushleft}
Si $m<0$
\end{flushleft}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|lcccr|}
$x$ & $-\infty$ & & ......... & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & ... & \\
$mx+p$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\section{\'Etudes de signes de produits}
\begin{onehalfspace}
On considère le produit $$(x-3)(1-x)$$.
\begin{itemize}
\nouvitem ............... pour .............. et ......... pour ..............
\nouvitem On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de ............ et de .............., puis on utilise la règle des signes.

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}
$x$ & $-\infty$ & & ..... & & ...... & & $+\infty$ \\
\hline
............. & & .... & & .... & .... & .... & \\
\hline
.............. & & .... & .... & .... & & .... & \\
\hline
...................... & & .... & & .... & & .... &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
\medskip
\noindent Pour ........................................................, le produit est négatif.\\
Pour ........................................................, le produit est positif.
\end{onehalfspace}

\newpage


\section{\'Etude de signes de quotients}

\subsection{Valeur interdite}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
on appelle \emphref{valeur interdite} d'une fonction $f$ donnée, tout réel $x$ .......................... ................... ........................ ....................... ..................... de la fonction $f$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
 $f$ définie par $f(x)=\frac{3x+2}{-4x+5}$.\\
$f$ n'est pas définie si et seulement si ..................\\
c'est à dire .................. ou encore .................\\
..................... est l'unique valeur interdite pour $f$\\
et l'ensemble de définition de $f$ est .................................. .
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\subsection{Résolution d'équations quotients}

\begin{encadrer}{Propriété}
Un quotient est nul si et seulement si ................ ................ .................. .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples de résolution d'équations quotients}
\begin{onehalfspace}
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $$\frac{3x+2}{5x+3}=0.$$
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche de ..... ................. .................... :\\
........................... si et seulement si $5x=-3$ c'est  à dire .......................\\
.................  est donc la seule valeur interdite.
\nouvitem Résolution de l'équation quotient nul :\\
On résout l'équation sur $]-\infty;\frac{-3}{5}[\cup ]\frac{-3}{5};+\infty[$ :\\
On a $\frac{3x+2}{5x+3}=0$ si et seulement si .................. c'est  à dire ............... donc ..................... .\\ L'unique solution de l'équation est donc ................... .
\end{itemize} 
\item On considère l'équation $$\frac{5x-2}{3x-1}=3.$$
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche des valeurs interdites :\\
..................... donne ......................... .
\nouvitem Résolution de l'équation  :
$$\frac{5x-2}{3x-1}=\frac{3}{1}$$
équivaut par un produit en croix à :
$$...................$$
c'est à dire ........................................... \\
donc ........................ donc ................ \\
L'unique solution est ............... 
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\subsection{Exemples d'étude de signe d'un quotient}

On considère le quotient $$\frac{3-2x}{x+1}$$.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem On détermine .................... .................... : \\
Ici ................... c'est à dire ............
\nouvitem On étudie le signe du numérateur et du dénominateur : \\
.................... pour ....................... et ................... pour ................. .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}

\pdfrowcolors{}
\begin{onehalfspace}
\begin{center}

\begin{tabular}{c|lcccccr|}
$x$ & $-\infty$ & & .......... & & ................ & & $+\infty$ \\
\hline
$3-2x$ & & ...... & & ...... & ..... & ..... &\\
\hline
$x+1$ & & ..... & .... & .... & & .... &\\
\hline
$\frac{3-2x}{x+1}$ & & .... & ..... & .... & .... & .... &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Pour ................................................., le quotient est strictement négatif.\\
Pour ................................................., le quotient est strictement positif.\\
\end{onehalfspace}

\subsection{Exemple de résolution d'inéquation quotient}
\begin{onehalfspace}
\begin{enumerate}
\item On considère l'inéquation $\frac{3-2x}{x+1}\geq 0$.\\
D'après le tableau de signes précédent, l'ensemble des solutions est l'intervalle ............................. .
\item On considère l'inéquation $$\frac{3x+1}{x-2}\leq 5$$.

\begin{itemize}
\nouvitem On détermine la ............ ...................... : ................ donne ...................
\nouvitem On écrit l'inéquation sous la forme d'une inéquation quotient nul :
$$....$$
$$....$$
$$....$$
$$....$$
\nouvitem On étudie le signe du quotient obtenu :\\
........................ pour ...................
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}

$x$ & $-\infty$ &  & ..... & & ..... & & $+\infty$ \\
\hline
.......... & & .... &  & .... & ..... & ..... & \\
\hline
.......... & & .... & .... & .... &  & .... & \\
\hline
$\dfrac{...........}{....}$ & & ..... & ..... &  ..... & .... & ...... & \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\nouvitem On détermine à partir du tableau les valeurs de $x$ solutions de l'inéquation :
$$............$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{onehalfspace}

\section{Synthèse sur les inéquations}
\begin{sanscadre}{Démarche de résolution}
Pour résoudre une inéquation donnée, on utilise des développements, des factorisations ou des transpositions d'un membre à l'autre pour se ramener à :
\begin{itemize}
\nouvitem Une inéquation du premier degré ;
\nouvitem une inéquation produit nul ;
\nouvitem ou une inéquation quotient nul.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
\begin{align*}
(x+2)^2 &\leq 9 \\
.......... \\
.......... \\
.......................................... \textrm{ d'après l'identité remarquable } \\
& \textrm{			}	 a^2-b^2=(a-b)(a+b) \\
.........................\\
\end{align*}
C'est une inéquation produit nul. On étudie donc le signe du produit ..................... :

\noindent ................ pour .............. et ................. pour .............


\noindent On obtient le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|cccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & ..... & & ..... & & $+\infty$ \\
\hline
.......... & & ..... & & ..... & ..... & ...... & \\
\hline
.......... & & ..... & ..... & ...... & & ..... & \\
\hline
.................. & & ..... & ..... & ..... & ..... & ..... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'ensemble des solutions est donc l'ensemble .....................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}
 
\end{document}