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\author{F.Gaudon}
\title{\'Etudes de signes et inéquations, cours de seconde}


\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}


\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\begin{document}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{\'Etude du signe des fonctions affines}



\begin{sanscadre}{Synthèse}

\begin{flushleft}
Si $m>0$
\end{flushleft}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|lcccr|}
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{p}{m}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & - & 0 & + & \\
$mx+p$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{flushleft}
Si $m<0$
\end{flushleft}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|lcccr|}
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{p}{m}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & + & 0 & - & \\
$mx+p$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\section{\'Etudes de signes de produits}

On considère le produit $$(x-3)(1-x)$$.
\begin{itemize}
\nouvitem $x-3=0$ pour $x=3$ et $1-x=0$ pour $x=1$.
\nouvitem On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de $x-3$ et de $1-x$, puis on utilise la règle des signes.

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}
$x$ & $-\infty$ & & 1 & & 3 & & $+\infty$ \\
\hline
$x-3$ & & - & & - & 0 & + & \\
\hline
$1-x$ & & + & 0 & - & & - & \\
\hline
$(x-3)(1-x)$ & & - & & + & & - &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
Pour $x\in ]-\infty;1]\cup[3;+\infty[$, le produit est négatif.\\
Pour $x\in [1;3]$, le produit est positif.
\newpage


\section{\'Etude de signes de quotients}

\subsection{Valeur interdite}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
on appelle \emphref{valeur interdite} d'une fonction $f$ donnée, tout réel $x$ n'appartenant pas à l'ensemble de définition de la fonction $f$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
 $f$ définie par $f(x)=\frac{3x+2}{-4x+5}$.\\
$f$ n'est pas définie si et seulement si $-4x+5=0$\\
c'est à dire $-4x=-5$ ou encore $x=\frac{5}{4}$.\\
$\frac{5}{4}$ est l'unique valeur interdite pour $f$\\
et l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}-\{\frac{5}{4}\}$.
\end{sanscadre}



\subsection{Résolution d'équations quotients}

\begin{encadrer}{Propriété}
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples de résolution d'équations quotients}
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $$\frac{3x+2}{5x+3}=0.$$
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche de la valeur interdite :\\
$5x+3=0$ si et seulement si $5x=-3$ c'est  à dire $x=\frac{-3}{5}$.\\
$\frac{-3}{5}$ est donc la seule valeur interdite.
\nouvitem Résolution de l'équation quotient nul :\\
On résout l'équation sur $]-\infty;\frac{-3}{5}[\cup ]\frac{-3}{5};+\infty[$ :\\
On a $\frac{3x+2}{5x+3}=0$ si et seulement si $3x+2=0$ c'est  à dire $3x+2=0$ donc $x=\frac{-2}{3}$.\\ L'unique solution de l'équation est donc $\frac{-2}{3}$.
\end{itemize} 
\item On considère l'équation $$\frac{5x-2}{3x-1}=3.$$
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche des valeurs interdites :\\
$3x-1=0$ donne $x=\frac{1}{3}$.
\nouvitem Résolution de l'équation  :
$$\frac{5x-2}{3x-1}=\frac{3}{1}$$
équivaut par un produit en croix à :
$$1(5x-2)=3(3x-1)$$
c'est à dire $5x - 2 = 9x - 3$\\
donc $5x-2+3=9x$ donc $1=9x-5x$ ou encore $1=4x$ donc $x=\frac{1}{4}$. \\
L'unique solution est $\frac{1}{4}.$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{sanscadre}



\subsection{Exemples d'étude de signe d'un quotient}

On considère le quotient $$\frac{3-2x}{x+1}$$.

\begin{itemize}
\nouvitem On détermine les valeurs interdites : \\
Ici $x+1=0$ c'est à dire $x=-1$.
\nouvitem On étudie le signe du numérateur et du dénominateur : \\
$3-2x=0$ pour $x=\frac{3}{2}$ et $x+1=0$ pour $x=-1$.
\end{itemize}

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}
$x$ & $-\infty$ & & -1 & & $\frac{3}{2}$ & & $+\infty$ \\
\hline
$3-2x$ & & + & & + & 0 & - &\\
\hline
$x+1$ & & - & 0 & + & & + &\\
\hline
$\frac{3-2x}{x+1}$ & &- & $\|$ & + & 0 & - &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Pour $x\in]-\infty;-1[\cup ]\frac{3}{2};+\infty[$, le quotient est strictement négatif.\\
Pour $x\in]-1;\frac{3}{2}[$, le quotient est strictement positif.\\


\subsection{Exemple de résolution d'inéquation quotient}
\begin{enumerate}
\item On considère l'inéquation $\frac{3-2x}{x+1}\geq 0$.\\
D'après le tableau de signes précédent, l'ensemble des solutions est l'intervalle $]-1;\frac{3}{2}]$.
\item On considère l'inéquation $$\frac{3x+1}{x-2}\leq 5$$.

\begin{itemize}
\nouvitem On détermine la valeur interdite : $x-2=0$ donne $x=2$.
\nouvitem On écrit l'inéquation sous la forme d'une inéquation quotient nul :
$$\frac{3x+1}{x-2}-5\leq 0$$
$$\frac{3x+1-5(x-2)}{x-2}\leq 0$$
$$\frac{3x+1-5x+10}{x-2}\leq 0$$
$$\frac{-2x+11}{x-2}\leq 0$$
\nouvitem On étudie le signe du quotient obtenu :\\
$-2x+11=0$ pour $x=\frac{11}{2}$
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}

$x$ & $-\infty$ &  & 2 & & 5,5 & & $+\infty$ \\
\hline
$-2x+11$ & & + &  & + & 0 & - & \\
\hline
$x-2$& & - & 0 & + &  & + & \\
\hline
$\frac{-2x+11}{x-2}$ & & - & $\|$ &  + & 0 & - & \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\nouvitem On détermine à partir du tableau les valeurs de $x$ solutions de l'inéquation :
$$S=\left[-\infty ; 2\right[ \cup \left[ 5,5;+\infty\right[$$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\section{Synthèse sur les inéquations}
\begin{sanscadre}{Démarche de résolution}
Pour résoudre une inéquation donnée, on utilise des développements, des factorisations ou des transpositions d'un membre à l'autre pour se ramener à :
\begin{itemize}
\nouvitem Une inéquation du premier degré ;
\nouvitem une inéquation produit nul ;
\nouvitem ou une inéquation quotient nul.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{align*}
(x+2)^2 &\leq 9 \\
(x+2)^2-9 &\leq0 \\
(x+2)^2-3^2 &\leq 0 \\
(x+2-3)(x+2+3) &\leq 0 \textrm{ d'après l'identité remarquable } \\
& \textrm{			}	 a^2-b^2=(a-b)(a+b) \\
(x-1)(x+5) &\leq 0\\
\end{align*}
C'est une inéquation produit nul. On étudie donc le signe du produit $(x-1)(x+5)$ :

\noindent $x-1=0$ pour $x=1$ et $x+5=0$ pour $x=-5$.


\noindent On obtient le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|cccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & -5 & & 1 & & $+\infty$ \\
\hline
$x-1$ & & - & & - & 0 & + & \\
\hline
$x+5$ & & - & 0 & + & & + & \\
\hline
$(x-1)(x+5)$ & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'ensemble des solutions est donc l'ensemble $[-5;1]$.
\end{sanscadre}
 
\end{document}