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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
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\title{Généralités sur les fonctions, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Généralités sur les fonctions - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}




\begin{center}
{\LARGE \textbf{Généralités sur les fonctions, cours, 2nde}}
\end{center}



\section{Vocabulaire sur les fonctions}
\pdfrowcolors{}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Une \emphref{fonction} est un procédé qui permet d'associer à tout nombre $x$, élément d'un ensemble $E$  \og{} de départ\fg{} , un nombre unique noté $f(x)$.
\item[$\bullet$] L'ensemble $E$ est .............. ............. ............. de la fonction $f$.
\item[$\bullet$] Le nombre $f(x)$ est appelé ..................... .................. du nombre $x$ par la fonction $f$.
\item[$\bullet$] Le nombre $x$ est appelé .............. ................. du nombre $f(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir calculer image et antécédent d'un nombre réel par une fonction]}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2-4x+32$.\\
On a $g(-5)=$................\\
$-5$ a donc pour image ............ par la fonction $g$ ce qui signifie aussi que $-5$ est un ............... de .......... par la fonction $g$.
\nouvitem Soit $h$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $h(x)=3x+5$.\\
L'antécédent $x$ de 6 par $h$ vérifie ............... ........... c'est à dire ............\\
donc ................. c'est à dire ..................\\
...................... est donc l'unique antécédent de 6 par la fonction $h$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On peut calculer l'image de n'importe quel nombre réel  appartenant à l'ensemble de définition d'une fonction donnée lorsque l'on connaît une expression algébrique de la fonction mais on n'est pas en mesure de déterminer n'importe quel antécédent car on ne sait résoudre que certaines équations.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir programmer une fonction en langage python]}
Définition de la fonction $g:x\mapsto x^2-4x+32$ :\par
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def g(x):
	return x**2-4*x+32
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
Pour présenter des nombres et leurs images par une fonction, on utilise un ................................... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir dresser un tableau de valeurs d'une fonction]}
Par exemple pour la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2-4x+32$ :
\end{sanscadre}
\begin{center}
\rowcolors{1}{}{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
$g(x)$ & .... & .... & .... & .... & .... \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage



\section{Représentation graphique}


\begin{encadrer}{Définition : représentation graphique}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ de $\mathbb{R}$. On appelle \emphref{courbe représentative} ou \emphref{représentation graphique} de  la fonction $f$ l'ensemble des points $M$ du plan de coordonnées ...................... dans un repère du plan avec $x$ parcourant l'ensemble de définition $E$ .
\item[$\bullet$] Un point $M$ de coordonnées $(x;y)$ appartient donc à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation ............... appelée .............. ................ ................. .................. $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir tracer la représentation graphique d'une fonction]}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2-4x+32$ sur l'intervalle $[0;8]$.
D'après le tableau de valeurs vu plus haut, les points $M_1$, $M_2$, $M_3$ de coordonnées respectives $(0;.....)$, $(1;.....)$, $(4;............)$ sont des points de la courbe représentative de la fonction $g$.\\
D'où la représentation graphique :
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{fonctionsgeneralitescoursimgrepgraphvide.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$.
\begin{itemize}
\nouvitem L'image $f(x)$ d'un nombre $x$ par $f$ se lit sur l'axe des ................ : c'est  .............. ..................... ................. ................. ................ ................ ................. .............. ................. .................
\nouvitem les antécédents s'il y en a de tout nombre $y$ par $f$ se lisent sur l'axe des ................. : ce sont ........... ............... ................ ................ ................ ................... ................ ................... .................... .......................
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir lire graphiquement des images et des antécédents]}
Sur la courbe ci-dessus représentant la fonction $g$,
\begin{itemize}
\nouvitem l'image de 1 est ...... ;
\nouvitem 32 a deux antécédents qui sont .... et ..... .
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Résolution graphique d'équations}

 \pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère.
Les \emphref{solutions de l'équation} $f(x)=k$ sont ............ ..................... ..................... ............... .................... ........................ .................... ..................

\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Sur la figure ci-dessous, est représentée une fonction $f$ :

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{resolutionsGraphiquesEquationsImgIncomplete.png}
\end{center}
L'équation $f(x)=1,5$ admet ........ solution qui vaut environ ................... .
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Résolutions graphiques d'inéquations}


\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x)\leq k$ (respectivement $f(x) \geq k$) sont ................... ....................... ............................... ............................ ................................. .........................
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre par lecture graphique une inéquation]}
Sur la figure ci-contre, est représentée la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 6]$ :

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImgIncomplete.png}
\end{center}

L'inéquation $f(x)\leq 1,5$ a pour ensemble de solutions .............................. environ.

\end{sanscadre}


\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x) \leq g(x)$ sont les ....................... des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés ...................... des points de $\mathcal{C}_g$ de même ............. .
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre par lecture graphique une inéquation]}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImg2Incomplete.png}
\end{center}
Ci-dessus, $\mathcal{C}_f$ est la courbe bleue et $\mathcal{C}_g$ est la courbe verte.  L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\leq g(x)$ semble être ................. .
\end{sanscadre}

\pdfrowcolors{}


\section{Parité}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ symétrique par rapport à 0.
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ est dite \emphref{paire} si pour tout réel $x$ de $E$, $....$ ;
\nouvitem $f$ est dite \emphref{impaire} si pour tout réel $x$ de $E$, $.......$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ symétrique par rapport à 0 et de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal du plan.
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ est paire si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est symétrique ............... ............... .................... ................ ........................ .
\nouvitem $f$ est impaire si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est symétrique ................. ................... ...................... ..................... ....................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
La fonction carré est ..................... .\\
La fonction inverse est .................... .\\
La fonction cube est ............... .
\end{sanscadre}

\section{Signe de fonctions}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{positive} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, ...................... ;
\nouvitem \emphref{négative} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, ...................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Dresser le tableau de signe d'une fonction par lecture graphique]}


\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{signesfonctionimg.png}
\end{center}
\newpage

 Pour visualiser le signe d'une fonction, on utilise un ............................. :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
 \hline
$x$& -3 & & -2 & & 1 & & 4 & & 6 \\
\hline 
$f(x)$ & & ...... & ..... & ..... & ..... & ..... & ..... & ..... &  \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}
\end{sanscadre}



\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir étudier les signes des fonctions de référence]}
\begin{itemize}
\nouvitem La fonction carré est ......................... sur $]-\infty;+\infty[$ d'après la règle des signes pour les produits.
\nouvitem La fonction cube est ......................... sur $]-\infty;0]$ et positive sur $[0 ; +\infty[$ d'après la règle des signes pour les produits.
\nouvitem Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 3x-2$.\\
$f(x)\geq 0$ équivaut à ................. donc à ...................... donc ...........................\\
Donc $f$ est positive sur ........................ et négative sur ............................ .\\
On peut retrouver ce résultat en faisant un tableau de signe comme expliqué dans le chapitre sur les fonctions de référence :\\
$f(x)$ est de la forme $mx+p$ avec $m=$...... .\\
$m>0$ donc l'ordre des signes dans le tableau de signes est ........... .\\
Par ailleurs, $f(x)=0$ équivaut à ................ c'est à dire à ................ donc $x=$................ .\\
D'où le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & ................ &  & $+\infty$ \\
\hline
$f(x)$ & & ..... & ..... & ..... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{\'Etude de position relative de fonctions}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ et de courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère du plan.\\
$\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$ si et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, ....................... c'est  à dire si et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)-g(x)...... 0$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir étudier des positions relatives]}
\begin{onehalfspace}
On considère les fonctions $f:x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x^3$ définies sur $[0 ; +\infty[$.\\
Pour tout réel $x$ positif, $f(x)-g(x)=x^2-x^3=$........ en factorisant\\
On a $x^2........ 0$ pour tout réel $x$, donc $f(x)-g(x)$ est du signe de .................. .\\
$1-x$ est de la forme $mx+p$ avec $m=.........$.\\
$m ..... 0$ donc les signes seront dans l'ordre ..................... dans le tableau de signe.\\
Par ailleurs, $1-x=0$ équivaut à $x=$........... . D'où le tableau de signes :\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & 0 & & ....... & & $+\infty$ \\
\hline
$f(x)$ & & ..... & ..... & ..... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
D'où :\\
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout $x\in [0 ;1]$, $x^2(1-x) ...... 0$ donc $f(x)-g(x) .......... 0$ donc $f(x) ....... g(x)$ donc $\mathcal{C}_f$ est ........ .................... de $\mathcal{C}_g$ sur $[0 ; 1]$.
\nouvitem Pour tout $x\in [1 ;+\infty[$, $x^2(1-x) ...... 0$ donc $f(x)-g(x) ....... 0$ donc $f(x) ....... g(x)$ donc $\mathcal{C}_f$ est ........ ................. de $\mathcal{C}_g$ sur $[1 ; +\infty[$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\end{document}
