\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{listings}

%\setlength\textwidth{15cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{22.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadrec}[2]{\noindent \color{#2}{\textbf{#1 :}}\par \noindent}{\bigskip\color{black}\par}

\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Généralités sur les fonctions, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

\usepackage[french,boxed,lined]{algorithm2e}
%\ configuration package algorithm
\SetKw{Retour}{Afficher}
\SetKwBlock{Traitement}{Début traitement}{Fin traitement.}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Généralités sur les fonctions - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Généralités sur les fonctions}
\pdfrowcolors{}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Une \emphref{fonction} est un procédé qui permet d'associer à tout nombre $x$, élément d'un ensemble $E$  \og{} de départ\fg{} , un nombre unique noté $f(x)$.
\item[$\bullet$] L'ensemble $E$ est \emphref{l'ensemble de définition} de la fonction $f$.
\item[$\bullet$] Le nombre $f(x)$ est appelé \emphref{l'image} du nombre $x$ par la fonction $f$.
\item[$\bullet$] Le nombre $x$ est appelé \emphref{l'antécédent} du nombre $f(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir calculer l'image d'un réel par une fonction]}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2-4x+32$.\\
On a $g(-5)=(-5)^2-4\times (-5)+32=25+20+32=77$\\
$-5$ a donc pour image $77$ par la fonction $g$ ce qui signifie aussi que $-5$ est un antécédent de $77$ par la fonction $g$.
\nouvitem Soit $h$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $h(x)=3x+5$.\\
L'antécédent $x$ de 6 par $h$ vérifie l'équation $h(x)=6$ c'est à dire $3x+5=6$\\
donc $3x=1$ c'est à dire $x=\frac{1}{3}$.\\
$\frac{1}{3}$ est donc l'unique antécédent de 6 par la fonction $h$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On peut calculer l'image de n'importe quel nombre réel  appartenant à l'ensemble de définition d'une fonction donnée lorsque l'on connaît une expression algébrique de la fonction mais on n'est pas en mesure de déterminer n'importe quel antécédent car on ne sait résoudre que certaines équations.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir programmer une fonction en langage python]}
Définition de la fonction $g:x\mapsto x^2-4x+32$ :\par
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def g(x):
	return x**2-4*x+32
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Tableaux de valeurs :}
Pour présenter des nombres et leurs images par une fonction, on utilise un \emphref{tableau de valeurs}.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir dresser un tableau de valeurs d'une fonction]}
Par exemple pour la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2-4x+32$ :
\end{sanscadre}
\begin{center}
\rowcolors{1}{}{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
$g(x)$ & 32 & 29 & 28 & 29 & 32 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage





\section{Représentation graphique}

\begin{encadrer}{Définition : représentation graphique}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ de $\mathbb{R}$. On appelle \emphref{courbe représentative} ou \emphref{représentation graphique} de  la fonction $f$ l'ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x;f(x))$ dans un repère du plan avec $x$ parcourant l'ensemble de définition $E$ .
\item[$\bullet$] Un point $M$ de coordonnées $(x;y)$ appartient donc à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation $y=f(x)$ appelée \emphref{équation de la courbe représentative} $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir tracer la courbe représentative d'une fonction]}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2-4x+32$ sur l'intervalle $[0;8]$.
D'après le tableau de valeurs vu plus haut, les points $M_1$, $M_2$, $M_3$ de coordonnées respectives $(0;32)$, $(1;29)$, $(4;32)$ sont des points de la courbe représentative de la fonction $g$.\\
D'où la représentation graphique :
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{fonctionsgeneralitescoursimgrepgraph.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}




\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$.
\begin{itemize}
\nouvitem L'image $f(x)$ d'un nombre $x$ par $f$ se lit sur l'axe des ordonnées : c'est l'ordonnée du  point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées $(x;0)$ ;
\nouvitem les antécédents s'il y en a de tout nombre $y$ par $f$ se lisent sur l'axe des abscisses : ce sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;y)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir lire graphiquement des images et des antécédents]}
Sur la courbe ci-dessus représentant la fonction $g$,
\begin{itemize}
\nouvitem l'image de 1 est 29 ;
\nouvitem 32 a deux antécédents qui sont 0 et 4.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Parité}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ symétrique par rapport à 0.
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ est dite \emphref{paire} si pour tout réel $x$ de $E$, $f(-x)=f(x)$ ;
\nouvitem $f$ est dite \emphref{impaire} si pour tout réel $x$ de $E$, $f(-x)=-f(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ symétrique par rapport à 0 et de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal du plan.
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ est paire si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\nouvitem $f$ est impaire si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'origine O du repère.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
La fonction carré est paire. Les fonctions inverse et cube sont impaires.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Résolution graphique d'équations}
 \pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère.
Les \emphref{solutions de l'équation} $f(x)=k$ sont les \emphref{abscisses} des points d'intersection de la courbe avec la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;k)$.

\end{encadrer}




\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir lire graphiquement les solutions d'une équation]}
Sur la figure ci-dessous, est représentée une fonction $f$ :

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{resolutionsGraphiquesEquationsImg.png}
\end{center}
Les solutions de l'équation $f(x)=0,5$ sont environ -1 ; -0,5 et 4,5.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
On considère deux fonctions $f$ et $g$ de courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère.\par 
Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImg2.png}
\end{center}
Ci-dessus, $\mathcal{C}_f$ est la courbe bleue et $\mathcal{C}_g$ est la courbe verte.  Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ semblent être -3 et 1.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Résolutions graphiques d'inéquations}


\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x)\leq k$ (respectivement $f(x) \geq k$) sont les \emphref{abscisses} des points de la courbe situés en dessous (respectivement au dessus) de la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;k)$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir lire graphiquement les solutions d'une inéquation]}
Sur la figure ci-contre, est représentée la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 6]$ :

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImg.png}
\end{center}

L'inéquation $f(x)\geq -0,5$ a pour ensemble de solutions $[-2,5;2,5]\cup [3;6]$ environ.

\end{sanscadre}

\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x) \leq g(x)$ sont les \emphref{abscisses} des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés en dessous des points de $\mathcal{C}_g$ de même abscisse.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImg2.png}
\end{center}
Ci-dessus, $\mathcal{C}_f$ est la courbe bleue et $\mathcal{C}_g$ est la courbe verte.  L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\leq g(x)$ semble être [-3 ; 1].
\end{sanscadre}





\section{Signe de fonctions}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{positive} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\geq 0$ ;
\nouvitem \emphref{négative} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\leq 0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Dresser le tableau de signe d'une fonction par lecture graphique]}


\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{signesfonctionimg.png}
\end{center}

 Pour visualiser le signe d'une fonction, on utilise un \emphref{tableau de signes} :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
 \hline
$x$& -3 & & -2 & & 1 & & 4 & & 6 \\
\hline 
$f(x)$ & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + &  \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}
\end{sanscadre}

\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem La fonction carré est positive sur $]-\infty;+\infty[$ d'après la règle des signes pour les produits.
\nouvitem La fonction cube est négative sur $]-\infty;0]$ et positive sur $[0 ; +\infty[$ d'après la règle des signes pour les produits.
\nouvitem Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 3x-2$.\\
$f(x)\geq 0$ équivaut à $3x-2\geq 0$ donc à $3x\geq 2$ donc $x\geq \frac{2}{3}$.\\
Donc $f$ est positive sur $[\frac{2}{3};+\infty[$ et négative sur $]-\infty ;\frac{2}{3}]$.\\
On peut retrouver ce résultat en faisant un tableau de signe comme expliqué dans le chapitre sur les fonctions de référence :\\
$f(x)$ est de la forme $mx+p$ avec $m=3$.\\
$m>0$ donc l'ordre des signes dans le tableau de signes est - 0 +.\\
Par ailleurs, $f(x)=0$ équivaut à $3x-2=0$ c'est à dire à $3x=2$ donc $x=\frac{2}{3}$.\\
D'où le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $\frac{2}{3}$ &  & $+\infty$ \\
\hline
$f(x)$ & & - & 0 & + & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\newpage

\section{\'Etude de position relative de fonctions}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ et de courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère du plan.\\
$\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$ si et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\geq g(x)$ c'est  à dire si et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)-g(x)\geq 0$.
\end{encadrer}
\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir étudier des positions relatives]}
On considère les fonctions $f:x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x^3$ définies sur $[0 ; +\infty[$.\\
Pour tout réel $x$ positif, $f(x)-g(x)=x^2-x^3=x^2(1-x)$.\\
On a $x^2\geq 0$ pour tout réel $x$, donc $f(x)-g(x)$ est du signe de $1-x$.\\
$1-x$ est de la forme $mx+p$ avec $m=-1$. $m<0$ donc les signes seront dans l'ordre + 0 - dans le tableau de signe.\\
Par ailleurs, $1-x=0$ équivaut à $x=1$. D'où le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & 0 & & 1 & & $+\infty$ \\
\hline
$x^2(1-x)$ & & + & 0 & - & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


D'où :\\
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout $x\in [0 ;1]$, $x^2(1-x)\geq 0$ donc $f(x)-g(x)\geq 0$ donc $f(x)\geq g(x)$ donc $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $[0 ; 1]$.
\nouvitem Pour tout $x\in [1 ;+\infty[$, $x^2(1-x)\leq 0$ donc $f(x)-g(x)\leq 0$ donc $f(x)\leq g(x)$ donc $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $[1 ; +\infty[$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\end{document}
