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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Fonctions affines, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}


\begin{center}
\huge Fonctions affines, cours, classe de 2nde
\end{center}


\section{\'Etude des fonctions affines}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{onehalfspace}
\begin{encadrer}{Définition}
Soient $m$ et $p$ deux nombres réels. On appelle fonction \emphref{affine} la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$................$$
\end{encadrer}
\end{onehalfspace}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $.................$, $f$ est dite \emphref{linéaire}.
\end{sanscadre}

\begin{onehalfspace}
\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir calculer des images et des antécédents}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=3x+4$ pour tout $x$ réel. $f$ est une fonction affine.
\begin{itemize}
\nouvitem Calcul de \emphref{l'image} de 6 : \\
..\\
..\\
 ........ est donc l'image de ....... par $f$.
\nouvitem Calcul du ou des \emphref{antécédents} de 6 par $f$ : \\
...\\
...\\
...\\
...\\
6 a donc un unique antécédent par $f$, il s'agit de ..............
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{onehalfspace}


\begin{encadrer}{Représentation graphique}
La représentation graphique de toute fonction affine est \\
..................... .\\
Un point $M(x;y)$ appartient à la droite si et seulement si $x$ et $y$ sont solutions de l'équation ............. .\\
Cette équation est appelée .................. ..................... \\
...
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
On considère l'équation de droite $y=mx+p$ où $m$ et $p$ sont deux réels.
\begin{itemize}
\nouvitem $m$ est appelé ........................ ou .................. ............... de la droite ;
\nouvitem $p$ est appelé ...................... ........................... de la droite.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{onehalfspace}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Représentation graphique de $f:x\mapsto -2x+3$.\\
On obtient les coordonnées de deux points de la droite en choisissant deux valeurs de $x$ et en calculant les images $y$ correspondantes :\\
Pour $x=$......,\\
$y=$...............\\
...
donc $A(......;......)$ appartient à la représentation graphique de la fonction $f$.\\
Pour $x=$.......,\\
$y=$.............. \\
...
donc $B(.......;.......)$ appartient à la représentation graphique de la fonction $f$.\\
\end{sanscadre}
\end{onehalfspace}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{fonctionsreferencecoursimgaffinedecroissantevide.png}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{fonctionsreferencecoursimgaffinecroissantevide.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{onehalfspace}
\subsection*{Variations}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $m>0$ alors la fonction $f$ est ............. ................. sur $]-\infty ;+\infty[$;
\item[$\bullet$] si $m=0$ alors la fonction $f$ est ................... sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
\item[$\bullet$] si $m<0$ alors la fonction $f$ est ............ ................ sur $]-\infty ; +\infty[$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}

\begin{center}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$.........$$
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & ..... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$.....$$
\rowcolors{1}{}{}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & ...... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{onehalfspace}
\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $m>0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ ....................,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1).........f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1.......x_2$.\\ 
Alors $mx_1........mx_2$ et $mx_1+b....... mx_2+b$\\
c'est à dire $f(x_1)............f(x_2)$ donc $f$ est strictement .................... sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
\item[$\bullet$] Si $m=0$, pour tout $x$ réel, $f(x)=p$ donc $f$ est ..................... égale à $p$ ;
\item[$\bullet$] si $m<0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ ...............,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)......f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$.\\
Alors on a $mx_1.......mx_2$ puis $mx_1+p.........mx_2+p$\\
c'est à dire $f(x_1)>f(x_2)$
donc $f$ est strictement ................. sur $]-\infty ; +\infty[$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{onehalfspace}

\begin{onehalfspace}
\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir reconnaître les variations d'une fonction affine dont l'écriture algébrique est donnée]}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3-2x$.\\
$f(x)=$.................. donc $m=$....... . Comme $m......0$, la fonction $f$ est strictement ..................... sur $]-\infty;+\infty[$.
\end{sanscadre}
\end{onehalfspace}


\subsection*{Signe}
 Si $m\neq0$, les deux cas possibles sont résumés dans les tableaux de signe suivants :
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{cc}
si $........$ :
&
si $........$ :
\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $....$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & .... & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $.......$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & ... & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}


\begin{onehalfspace}
\begin{sanscadre}{Preuve}
$f(x)>0$ signifie $mx+p>0$\\
Si $m>0$ cela équivaut à .................\\
ou encore à ..................\\
D'où le premier tableau de signe.\\
Si $m<0$, $f(x)>0$ équivaut à ................ donc à ......................\\
D'où le second tableau de signe.
\end{sanscadre}
\end{onehalfspace}

\begin{onehalfspace}
\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir dresser le tableau de signe d'une fonction affine]}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x+3$.\\
\begin{itemize}
\nouvitem On résout l'équation $f(x)=0$ pour savoir pour quelle valeur de $x$, $f(x)$ s'annule  :\\
$f(x)=0$ équivaut à ................ c'est à dire à ............. donc .......\\
\nouvitem On dresse le tableau de signes :\\
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & ........... & & $+\infty$ \\
\hline
$f(x)$ & & .... & .... & ..... &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{onehalfspace}

\section{Proportionnalité des accroissements}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit une fonction affine $f$ définie par $f(x)=mx+p$ de représentation graphique $(d)$ dans un repère du plan.
Alors l'accroissement de la variable $x$ est proportionnel à l'accroissement des images $f(x)$ et le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur $m$ de la fonction affine c'est à dire que pour tous les points $A$ et $B$ de la droite $(d)$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$ on a :
$$.........................$$
et
$$.....................$$
\end{encadrer}


\begin{onehalfspace}
\begin{sanscadre}{Exemples d'utilisations}
\begin{itemize}
\nouvitem[\textbf{Savoir déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine connaissant deux points de sa représentation graphique}]\\
Soit $f$ une fonction affine telle que $f(-1)=3,5$ et $f(4)=1$.\\
$f$ est affine donc de la forme $f(x)=$.............. pour tout $x$ réel où $m$ et $p$ sont deux nombres réels à déterminer et $A(.......;........)$ et $B(.......;........)$ sont deux points de la droite représentant $f$.

$m=$..........\\
Donc $f(x)$ s'écrit $f(x)=$............. pour tout réel $x$.\\
En outre on sait que $A(........;.........)$ appartient à la droite donc $m=$........................... (on aurait tout aussi bien pu utiliser le point $B$).\\
Finalement, $f(x)=$............ .
\nouvitem[\textbf{Savoir tracer la représentation graphique d'une fonction affine en utilisant les coefficients $m$ et $p$}]\\
Soit $f$ la fonction affine dont la droite $\mathcal{D}$ qui la représente dans un repère passe par le point $A$ de coordonnées $(-2;-3)$ et dont le nombre $m$ dans l'écriture $f(x)=mx+p$ vaut $m=2$. Alors si on avance de 1 unité en abscisse (autrement dit si $x_B-x_A=1$), pour retrouver un point de la droite $\mathcal{D}$ on doit augmenter de ..... en ordonnées pour retrouver un point $B$ de la droite ($y_B-y_A=2$).
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{onehalfspace}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{fonctionsreferencesimgaffinecoeffvide.png}
\end{center}


\end{document}


