
\documentclass[12pt]{article}

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% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
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\title{Taux d'évolution, cours, classe de 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Taux d'évolution, cours, classe de 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Taux d'évolution, cours, classe de 2nde}}
\end{center}






\section{Coefficients multiplicateurs et taux d'évolution}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
\begin{onehalfspace}
Soient $v_D$ un nombre réel, \emphref{valeur de départ} d'une quantité et $v_A$ la \emphref{valeur d'arrivée} suite à une hausse ou une baisse. $v_D$ subit donc une  \emphref{évolution de taux} $t$ avec $t=\frac{p}{100}$ en cas de hausse ou $t=-\frac{p}{100}$ en cas de baisse avec $t$ réel.\\
On a $t>0$ s'il s'agit d'une ................................. \\
et $t<0$ s'il s'agit d'une ......................................... .\\
On a en outre $$v_A=......................$$
$1+t$ ou $1\pm\frac{p}{100}$ est appelé \emphref{coefficient multiplicateur} associé à la hausse ou à la baisse.\\
Augmenter ou diminuer un nombre d'un taux $t$ revient donc à le multiplier par ................................... \\
avec $t$ qui peut être positif en cas de ....................\\
 ou négatif en cas de .......................... .
\end{onehalfspace}
\end{encadrer} 
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
La valeur de la hausse ou de la baisse est ............................. .\\
La valeur après évolution à la hausse est donc ......................\\
D'où $v_A=.........................$\\
La valeur après évolution à la baisse est donc ......................\\
D'où $v_A=.........................$
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir passer et d'un taux d'évolution au coefficient multiplicateur et réciproquement}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Si le prix d'un produit augmente de 2\%, \\
le prix est multiplié par .............. \\

\nouvitem Si le prix d'un produit baisse de 2\%, \\
le prix est multiplié par ..............\\

\nouvitem Si un prix est multiplié par 0,97, \\
déterminons la hausse en pourcentage :............. \\
...

\nouvitem \textbf{[Savoir calculer une valeur d'arrivée]}\\
Un produit vaut 36\euro{} et subit une hausse de 20\%. \\
Calculons la valeur d'arrivée $v_A$ : \\
....
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Soient $v_D$ un nombre réel, valeur de départ d'une quantité et $v_A$ un autre nombre réel, valeur d'arrivée d'une quantité.  On appelle :
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{variation absolue} de $v_D$ à $v_A$ le nombre .....................;
\nouvitem \emphref{variation relative} de $v_D$ à $v_A$ le nombre ......................... .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
Si $t$ est le taux de hausse ou de baisse, on a alors $$.................$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
..............................\\
..................... \\
..................\\
................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir calculer une variation relative, une variation absolue]}
Le prix au litre d'un carburant a augmenté de 0,9 euros à 1,04 euros. 
La variation absolue est  ........................... \\
La variation relative est ... 
\end{sanscadre}



\section{Hausses et baisses successives}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Appliquer plusieurs hausses ou baisses successives à un nombre revient à le multiplier par .................. des coefficients multiplicateurs.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve (cas de deux évolutions de taux $t_1$ et $t_2$)}
 ................... \\
  ........................................
\end{sanscadre} 

\newpage

\begin{onehalfspace}
\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir calculer avec des hausses et des baisses successives]}
\begin{itemize}
\nouvitem Un produit subit deux hausses successives, la première de 2\% et la deuxième de 5\%. \\
Cherchons par combien le prix initial aura donc été multiplié :
 ......................... \\
.....
\nouvitem Un produit subit une hausse de 10\% puis une baisse de 10\%. \\
........\\
...
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{onehalfspace}

\begin{sanscadre}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem L'ordre dans lequel les hausses ou les baisses sont appliquées n'a aucune influence sur le résultat final puisque les coefficients multiplicateurs sont multipliés entre eux.
\nouvitem Appliquer deux hausses ou deux baisses successives ne revient pas à additionner les deux pourcentages de hausses ou de baisses entre eux.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Taux d'évolution réciproque}


\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}

Le nombre $\frac{1}{1+t}$ est appelé ............................... .

Le nombre $\frac{1}{1+t}-1$ est ....................................

\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{schemaSyntheseEvolutions.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir calculer et utiliser un taux réciproque]}
Le prix d'un produit diminue de 15\%.\\
Cherchons le pourcentage d'augmentation à lui appliquer pour qu'il retrouve son prix initial :\\
.... .\\
 ....\\
 .... 
\end{sanscadre}



\end{document}