
\documentclass[12pt]{article}

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\title{Pourcentages d'évolution, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Pourcentages d'évolution, cours, 2nde}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Coefficients multiplicateurs et taux d'évolution}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soient $v_D$ un nombre réel, \emphref{valeur de départ} d'une quantité et $v_A$ la \emphref{valeur d'arrivée} suite à une hausse ou une baisse. On suppose que $v_D$ subit une  \emphref{évolution de taux} $t$ avec $t=\frac{p}{100}$ en cas de hausse ou $t=-\frac{p}{100}$ en cas de baisse avec $t$ réel.\\
On a $t>0$ s'il s'agit d'une \emphref{hausse} et $t<0$ s'il s'agit d'une \emphref{baisse}.\\
On a en outre $$v_A=v_D(1+t)=v_D(1+\frac{p}{100})$$
$1+t$ ou $1+\frac{p}{100}$ est appelé \emphref{coefficient multiplicateur} associé à la hausse ou à la baisse.\\
Augmenter ou diminuer un nombre d'un taux $t$ revient donc à le multiplier par $1+t$ avec $t$ qui peut être positif en cas de hausse ou négatif en cas de baisse.
\end{encadrer} 
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
La valeur de la hausse ou de la baisse est $v_D\times \frac{p}{100}$.\\
La valeur après évolution à la hausse est donc $v_D+v_D\times \frac{p}{100}=v_D\times (1+\frac{p}{100})$. D'où $v_A=v_D(1+\frac{p}{100})$.\\
La valeur après évolution à la baisse est donc $v_D-v_D\times \frac{p}{100}=v_D\times (1-\frac{p}{100})$. D'où $v_A=v_D(1-\frac{p}{100})$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{itemize}
\nouvitem Si le prix d'un produit augmente de 2\%, le prix est multiplié par $1+\frac{2}{100}$ c'est à dire $1,02$.
\nouvitem Si le prix d'un produit baisse de 2\%, le prix est multiplié par $1-\frac{2}{100}=0,98$.
\nouvitem Si un prix est multiplié par $0,97$, on a $0,97-1=-0,03$ et $0,03\times 100=3$, il y a donc eu une baisse de 3\%.
\nouvitem Un produit vaut 36\euro{}. Il subit une hausse de 20\%. On a donc $v_D=36$ et $v_A=v_D(1+\frac{20}{100})$ donc $v_A = 36\times 1,2 = 43,2$ soit 43,2\euro{} après la hausse.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Soient $v_D$ un nombre réel, valeur de départ d'une quantité et $v_A$ un autre nombre réel, valeur d'arrivée d'une quantité.  On appelle :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{variation absolue} de $v_D$ à $v_A$ le nombre $v_A-v_D$ ;
\nouvitem \emphref{variation relative} de $v_D$ à $v_A$ le nombre $\frac{v_A-v_D}{v_D}$.
\end{itemize}
Si $t$ est le taux de hausse ou de baisse, on a alors $\frac{v_A-v_D}{v_D}=t$
\end{encadrer}
}
\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
$v_A=(1+t)v_D$\\
donc $1+t=\frac{v_A}{v_D}$ \\
puis $t=\frac{v_A}{v_D}-1$\\
et $t=\frac{v_A}{v_D}-\frac{v_D}{v_D}$ donc $\frac{t}{100}=\frac{v_A-v_D}{v_D}$ 
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Le prix au litre de gasoil a augmenté de 0,9 euros à 1,04 euros. On a $\frac{1,04-0,9}{0,9}\times 100\approx 15,5$ soit une hausse de 15,5\% environ. 
\end{sanscadre}


\section{Hausses et baisses successives}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Appliquer deux hausses ou baisses successives à un nombre revient à le multiplier par le produit des deux coefficients multiplicateurs.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve (cas de deux évolutions de taux $t_1$ et  $t_2$)}
Soit $x$ le nombre départ. En appliquant l'évolution de taux $t_1$ on obtient $x\times(1+t_1)$ puis en appliquant l'évolution de taux $t_2$ on obtient $x\times (1+t_1)(1+t_2)$.
\end{sanscadre} 

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Un produit subit deux hausses successives, la première de 2\% et la deuxième de 5\%. Son prix est alors multiplié lors de la première hausse par $1+\frac{2}{100}$ puis le nouveau prix est lui-même multiplié par $1+\frac{5}{100}$. Le prix initial aura donc été multiplié par $1,02\times 1,05$ soit $1,071$. En outre, $1,071-1=0,071$ et $0,071\times 100=7,1$ donc la hausse a finalement été de 7,1\%.
\nouvitem Un produit subit une hausse de 10\% puis une baisse de 10\%. Son prix est donc multiplié par $1+\frac{10}{100}=1,1$ puis le nouveau prix est multiplié par $1-\frac{10}{100}=0,9$. Le prix aura donc finalement été multiplié par $1,1\times 0,9$ soit 0,99. En outre, on a $0,99-1=-0,01$ et $0,01\times 100=1$ donc le prix a en fait baissé de 1\%.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem L'ordre dans lequel les hausses ou les baisses sont appliquées n'a aucune influence sur le résultat final puisque les coefficients multiplicateurs sont multipliés entre eux.
\nouvitem Appliquer deux hausses ou deux baisses successives ne revient pas à additionner les deux pourcentages de hausses ou de baisses entre eux.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Taux d'évolution réciproque}



\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Le nombre $\frac{1}{1+t}$ est appelé \emphref{coefficient multiplicateur réciproque}. C'est l'inverse du coefficient multiplicateur.

Le nombre $\frac{1}{1+t}-1$ est le \emphref{taux d'évolution réciproque}.
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{schemaSyntheseEvolutions.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Le prix d'un produit diminue de 15\%.\\
Le prix a donc été multiplié par $1-\frac{15}{100}=0,85$ .\\
Pour revenir au prix initial, il faut donc multiplier le nouveau prix par $\frac{1}{0,85}\approx 1,1765$\\
Le taux correspondant est $1,1765-1=0,1765$.\\
Cela revient à appliquer une augmentation de 17,65\%.
\end{sanscadre}



\end{document}