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\title{\'Egalités,inégalités, équations et inéquations, cours, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

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\fancyhead[R]{\textit{\'Egalités, inégalités, équations et inéquations, 2nde}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{\'Egalités, inégalités, équations et inéquations, cours, 2nde}}
\end{center}

\section{Formes factorisées et formes développées}

\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$, $b$ et $k$ :
$$..................$$
$$..................$$
\emphref{forme ................, produit} \hfill \emphref{forme ................, somme}
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$ et $b$ on a les \emph{identités remarquables} suivantes :
$$.....................$$
$$.....................$$
$$.....................$$
\emphref{forme ................., produit} \hfill \emphref{forme ...................., somme}
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir développer une écriture littérale]}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout réel $x$, $A(x)=(2x + 4)(x - 5) =$..................................... \\
par la double distributivité\\
Donc $A(x)=$....................\\
...
\nouvitem Pour tout réel $x$, $B(x)=(x-2)^2+28=$........................................\\ d'après l'identité remarquable .................\\
Donc $B(x)=$...........................
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{\'Egalités et équations}

\subsection{Définitions}

\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Une \emphref{égalité} est une affirmation qui utilise le signe $=$ et qui est soit ............, soit .............
\nouvitem Une \emphref{équation} est une égalité où figure un nombre .................. .\par
......................... une équation c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l'égalité soit vraie : ces valeurs sont les ..................... de l'équation.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{Règles de conservation des égalités}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $c$ un nombre réel. $a=b$ si et seulement si .............\par
c'est à dire qu'une égalité ne change pas d'état (donc reste vraie si elle était vraie et fausse si elle était fausse) en ................. (ou en ......................) le ............. nombre réel des deux côtés de l'égalité.
\nouvitem Soit $c$ un nombre réel tel que $c\neq 0$. $a=b$ si et seulement si .......... \par 
c'est à dire qu'une égalité ne change pas d'état en ................ (ou en .................) par le ................... nombre réel non nul des deux côtés de l'égalité.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\subsection{Application à la résolution d'équations du premier degré}

\begin{encadrer}{Définition}
Une \emphref{équation du premier degré} est une équation qui peut s'écrire sous la forme ...................... avec $a$ et $b$ réels et $x$ l'inconnue.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre une équation du premier degré]}
Résolvons l'équation $3(4+x)=x - 6$.\\
 ...................................\\
.............................\\
....................................\\
 .............................. \\
.................... \\
.......... .\\
\end{sanscadre}

\subsection{Résolution d'équations produits nuls}

\begin{encadrer}{Propriété}
Un produit est nul si et  seulement si ............. ............. .................. .............\\
c'est à dire $ab=0$ si et seulement si ........... ou ............... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir résoudre des équations du second degré particulières]:}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Résolution de l'équation $(3x+2)(4x-3)=0$ dans l'ensemble des réels.\\
...\\
...\\
...\\
...
\nouvitem Résolution de l'équation $(3x+2)(2x-1)-x(3x+2)=0$ dans l'ensemble des réels.\\
Ici, l'équation n'est pas factorisée. La développer ne permet pas de résoudre l'équation car on trouve $3x^2-x-2=0$ qu'on ne sait pas résoudre.\\
...\\
...\\
...\\
...\\
...
\nouvitem Résolution de l'équation $x^2+4x+4=0$.\\
Ici encore, l'équation n'est pas factorisée.\\
...\\
...\\
...\\
....
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Inégalités et inéquations}

\subsection{Définition}
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Une \emphref{inégalité} est une affirmation qui utilise l'un des signes \og{}$\geq$\fg{} ou \og{}>\fg{} ou \og{}<\fg{} ou  \og{}$\leq$\fg{} et qui ne peut être que .............. ou ............... .
\nouvitem Une \emphref{inéquation} est une inégalité où figure un nombre ................ .\par 
......................... une inéquation c'est trouver l'ensemble des valeurs possibles pour le nombre inconnu telles que l'inégalité soit vraie : cet ensemble de valeurs est ................  .................. de l'inéquation.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{Règles de conservation des inégalités}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, alors :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a\leq b$ si et seulement si $a-b$ est ...............;
\item[$\bullet$] $a \geq b$ si et seulement si $a-b$ est ............... .
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres réels :
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ alors .......................\par 
c'est à dire que le sens de l'inégalité ...................................... lorsque l'on ajoute le .............. nombre dans les deux membres ;
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c>0$ alors ................... c'est à dire que le sens de l'inégalité .................... lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un ................. nombre ................. ........................ ;
\item[$\bullet$] si $a\leq  b$ et $c<0$ alors .......................... c'est à dire que le sens de l'inégalité .......................... lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par le ..................... nombre ..................... ...................... .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ alors $a-b ......... 0$ c'est à dire $a+c-c-b ........ 0$ donc $a+c-(b+c) ............ 0$ c'est à dire $a+c ......... b+c$ ;
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c>0$ alors $a-b ....... 0$ et $c(a-b) ........... 0$ donc $ca-cb .......... 0$ c'est à dire $ac ......... bc$.
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c<0$ alors $a-b ....... 0$ et $c(a-b) ........ 0$ donc $ca-cb ....... 0$ c'est à dire $ac ....... bc$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection{Application à la résolution d'inéquations du premier degré}

\begin{encadrer}{Définition}
Une \emphref{inéquation du premier degré} est une équation qui peut s'écrire sous la forme $ax+b\leq 0$ ou $ax+b<0$ avec $a$ et $b$ réels et $x$ l'inconnue.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre une inéquation du premier degré] }
\begin{onehalfspace}
On considère l'inéquation $3(3+4x)\leq 2x - 5$.\\
...\\
...\\
...\\
...\\
...
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\end{document}
