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\title{\'Egalités,inégalités, équations et inéquations, cours, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

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\maketitle

\tableofcontents


\newpage

\section{Formes factorisées et formes développées}

\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$, $b$ et $k$ :
$$k(a+b)=ka+kb$$
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
\emphref{forme factorisée, produit} \hfill \emphref{forme développée, somme}
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$ et $b$ on a les \emph{identités remarquables} suivantes :
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
\emphref{forme factorisée, produit} \hfill \emphref{forme développée, somme}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$ par la double distributivité
\nouvitem De même, $(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$
\nouvitem $(a-b)(a+b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-bb^2$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir développer une écriture littérale]}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout réel $x$, $A(x)=(2x + 4)(x - 5) =2x\times x + 4x - 2x\times 5 - 20$ par la double distributivité\\
Donc $A(x)=2x^2 + 4x - 10x - 20 = 2x^2 - 6x - 20$
\nouvitem Pour tout réel $x$, $B(x)=(x-2)^2+28=x^2-2\times 2\times x + 2^2 + 28$ d'après l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$\\
Donc $B(x)=x^2-4x+32=g(x)$
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{\'Egalités et équations}

\subsection{Définitions}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Une \emphref{égalité} est une affirmation qui utilise le signe $=$ et qui ne peut être que \emphref{vraie} ou \emphref{fausse}.
\nouvitem Une \emphref{équation} est une égalité où figure un nombre \emphref{inconnu}.\par
\emphref{Résoudre} une équation c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l'égalité soit vraie : ces valeurs sont les \emphref{solutions} de l'équation.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{Règles de conservation des égalités}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $c$ un nombre réel. $a=b$ si et seulement si $a+b=a+c$ c'est à dire qu'une égalité ne change pas d'état (donc reste vraie si elle était vraie et fausse si elle était fausse) en ajoutant (ou en soustrayant) le même nombre réel des deux côtés de l'égalité.
\nouvitem Soit $c$ un nombre réel tel que $c\neq 0$. $a=b$ si et seulement si $ac=bc$ c'est à dire qu'une égalité ne change pas d'état en multipliant (ou en divisant) par le même nombre réel non nul des deux côtés de l'égalité.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\section{Application à la résolution d'équations}

\subsection{Résolution d'équations du premier degré}

\begin{encadrer}{Définition}
Une \emphref{équation du premier degré} est une équation qui peut s'écrire sous la forme $ax+b=0$ avec $a$ et $b$ réels et $x$ l'inconnue.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère l'équation $3(4+x)=x - 6$.\\
Elle équivaut à $12 + 3x =x - 6$ par développement\\
Ou encore à $12 +2x=-6$ par addition de $-x$ des deux côtés de l'égalité\\
c'est à dire à $2x = -18$ par addition de $-12$ des deux côtés de l'égalité.
ce qui équivaut enfin à $x=\frac{-18}{2}$ donc $x=-9$ par multiplication par $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l'égalité.\\
L'unique solution est donc -9.
\end{sanscadre}

\subsection{Résolution d'équations produits nuls}

\begin{encadrer}{Propriété}
Un produit est nul si et  seulement si l'un des facteurs est nul\\
c'est à dire $ab=0$ si et seulement si $a=0$ ou $b=0$
\end{encadrer}
\begin{sanscadre}{Exemples de résolution d'équations du second degré :}
\begin{itemize}
\nouvitem Résolution de l'équation $(3x+2)(4x-3)=0$ dans l'ensemble des réels. D'après la propriété énoncée, $3x+2=0$ ou $4x-3=0$ c'est à dire $3x=-2$ ou $4x=3$ donc encore $x=\frac{-2}{3}$ ou $x=\frac{3}{4}$. L'équation $(3x+2)(4x-3)=0$ a donc pour solutions $\frac{-2}{3}$ et $\frac{3}{4}$.
\nouvitem Résolution de l'équation $(3x+2)(2x-1)-x(3x+2)=0$ dans l'ensemble des réels. Ici, l'équation n'est pas factorisée. La développer ne permet pas de résoudre l'équation car on trouve $3x^2-x-2=0$ qu'on ne sait pas résoudre. Il faut donc la factoriser : l'équation donne alors $(3x+2)(2x-1-x)=0$ c'est à dire $(3x+2)(x-1)=0$ qui se résout en utilisant la propriété énoncé ci-dessus. On a donc $3x+2=0$ ou $x-1=0$ donc $x=\frac{-2}{3}$ ou $x=1$.
\nouvitem Résolution de l'équation $x^2+4x+4=0$. Ici encore, l'équation n'est pas factorisée. Il n'y a pas de facteur commun mais une identité remarquable apparaît $x^2+4x+4=(x+2)^2$. On résout donc l'équation $(x+2)^2=0$ qui donne $x+2=0$ donc $x=-2$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Inégalités et inéquations}

\subsection{Définition}
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Une \emphref{inégalité} est une affirmation qui utilise l'un des signes \og{}$\geq$\fg{} ou \og{}>\fg{} ou \og{}<\fg{} ou  \og{}$\leq$\fg{} et qui ne peut être que \emphref{vraie} ou \emphref{fausse}.
\nouvitem Une \emphref{inéquation} est une inégalité où figure un nombre \emphref{inconnu}.\par
\emphref{Résoudre} une inéquation c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l'inégalité soit vraie : ces valeurs sont les \emphref{solutions} de l'inéquation.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{Règles de conservation des inégalités}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, alors :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a\leq b$ si et seulement si $a-b$ est négatif;
\item[$\bullet$] $a \geq b$ si et seulement si $a-b$ est positif.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres réels :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ alors $a+c\leq b+c$ c'est à dire que le sens de l'inégalité ne change pas lorsque l'on ajoute le même nombre dans les deux membres ;
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c>0$ alors $ac\leq bc$ c'est à dire que le sens de l'inégalité ne change pas lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un même nombre strictement positif ;
\item[$\bullet$] si $a\leq  b$ et $c<0$ alors $ac\geq bc$ c'est à dire que le sens de l'inégalité change lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par le même nombre strictement négatif.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ alors $a-b\leq 0$ c'est à dire $a+c-c-b\leq 0$ donc $a+c-(b+c)\leq 0$ c'est à dire $a+c\leq b+c$ ;
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c>0$ alors $a-b\leq 0$ et $c(a-b)\leq 0$ donc $ca-cb\leq 0$ c'est à dire $ac\leq bc$.
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c<0$ alors $a-b\leq 0$ et $c(a-b)\geq 0$ donc $ca-cb\geq 0$ c'est à dire $ac\geq bc$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection{Application à la résolution d'inéquations du premier degré}

\begin{encadrer}{Définition}
Une \emphref{inéquation du premier degré} est une équation qui peut s'écrire sous la forme $ax+b\leq 0$ ou $ax+b<0$ avec $a$ et $b$ réels et $x$ l'inconnue.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère l'inéquation $3(3+4x)\leq 2x - 5$.\\
Elle équivaut à $9 + 12x\leq 2x - 5$ par développement\\
Ou encore à $9 + 10x\leq -5$ par addition de $-2x$ des deux côtés de l'inégalité\\
c'est à dire à $10x\leq -14$ par addition de $-9$ des deux côtés de l'inégalité.
ce qui équivaut enfin à $x\leq \frac{-14}{10}$ donc $x\leq -1,4$ par multiplication par $\frac{1}{10}$ \emph{positif} des deux côtés de l'inégalité.\\
Les solutions sont donc les réels inférieurs ou égaux à -1,4, c'est à dire l'intervalle $]-\infty;-1,4]$.
\end{sanscadre}



\end{document}
