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\title{\'Equations de droites, cours pour la classe de seconde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}


\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Equations de droites - 2nde}}
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\begin{center}
\LARGE{\'Equations de droites, classe de 2nde}
\end{center}
\vspace{1cm}



\section{Notion d'équation cartésienne de droite}
\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $\mathcal{D}$ une droite dans le plan muni d'un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.

On appelle \emphref{équation de la droite} $(\mathcal{D})$ ......................... ...................... ........................ .................................... ............................... ............................
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Dans un repère, l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que $y=ax+b$ avec $m$ et $p$ deux réels fixés est .............. ................
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ réels. On sait que sa représentation graphique, c'est à dire l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $y=ax+b$ est ........... ..................
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$ un repère du plan.
\begin{itemize}
\nouvitem Toute droite du plan admet une équation de la forme ......................... où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $(a;b)\neq 0$ et $x$ et $y$ sont les inconnues ;
\nouvitem réciproquement, toute équation de la forme ............................ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $(a;b)\neq 0$ est l'équation d'une droite du plan.
\end{itemize}
L'équation ............................. est appelée \emphref{équation cartésienne} de la droite.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(\mathcal{D})$ la droite passant par les points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ distincts.

Soit $M(x;y)$ un point quelconque.

Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ ont pour coordonnées respectives :\\ 
................................. et ........................................ .\\
$M$ appartient à $(\mathcal{D})$ signifie que les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont ..................... ce qui se traduit à l'aide du déterminant par :
$$.............................$$
d'où après avoir développé et obtenue une équation de second membre nul :
$$(y_B-y_A)x-y(x_B-x_A)-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)=0$$
On a le résultat en posant $a=y_B-y_A$, $b=x_B-x_A$ et $c=-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)$. En effet, $y_B-y_A\neq 0$ ou $x_B-x_A\neq 0$ puisque $A$ et $B$ sont distincts.
\nouvitem Réciproquement, on considère une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $(a;b)\neq 0$. Soit $M_0$ un point de coordonnées $(x_0;y_0)$ tel que $ax_0+by_0+c=0$ . Pour tout point M de coordonnées $(x;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ on a donc $ax_0+by_0+c-(ax+by+c)=0$ donc $a(x_0-x)+b(y_0-y)=0$. Soit $\vec{u}$ le vecteur de coordonnées $(-b;a)$ , le vecteur $\vec{MM_0}$ a lui pour coordonnées $(x_0-x;y_0-y)$ . Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles c'est à dire si et seulement si $a(x0-x)+b(y_0-y)=0$ à l'aide du déterminant. On vient donc de montrer que pour tout point $M$ de coordonnées $(x;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ , $\vec{MM_0}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires c'est  à dire que $M$ appartient à la droite passant par $M$ et de direction $\vec{u}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{\'Equation réduite}

\begin{encadrer}{Théorème et définition}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère et $\mathcal{D}$ une droite. 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $(\mathcal{D})$ ........................ ....................... .................................. alors elle admet une équation de la forme :
$$.................$$
appelée \emphref{équation réduite} avec :
\begin{itemize}
\item[$\triangleright$] $......$ : nombre réel appelé .................. ..........................
\item[$\triangleright$] $......$ : nombre réel appelé .................. ..........................
\end{itemize}
\item[$\bullet$] si $\mathcal{D}$ ......................... ........................ ................................. alors elle admet une équation de la forme :
$$..........$$
avec $k$ nombre réel tel que tous les points de la droite $(\mathcal{D})$ ont pour abscisse $k$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $ax+by+c=0$ une équation de la droite avec $(a;b)\neq 0$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $b=0$ alors $a\neq 0$ donc $ax+c=0$.\\
D'où $ax=-c$ et $x=-\frac{c}{a}$.\\
$(\mathcal{D})$ est donc parallèle à l'axe des ordonnées.
\nouvitem Si $b\neq 0$ alors $by=-ax-c$ donc $y=-\frac{a}{c}x-\frac{c}{b}$.\\
Cette équation est de la forme $y=mx+p$ en posant $m=-\frac{a}{c}$ et $p=-\frac{c}{b}$.\\
La droite n'est donc pas parallèle à l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Les droites parallèles à l'axe des abscisses ont une équation réduite de la forme $y=p$ où $p$ est un réel.
\end{sanscadre}

\newpage
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%\begin{itemize}
%\begin{onehalfspace}
%\nouvitem Soient $A$ et $B$ les points d'abscisses respectives 0 et 1 (ces points existent puisque la droite est supposée non parallèle à l'axe des ordonnées). Notons $y_A$ et $y_B$ leurs ordonnées respectives. On a donc $A(.........;..........)$ et $B(..........;..........)$. Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=(y_B-y_A)x+y_A$. On a $f(0)=.......$ et $f(1)=.......$ donc la représentation graphique de $f$ est la droite qui passe par $A$ et $B$, c'est  à dire la droite $\mathcal{D}$. Donc tout point vérifiant $...................$ avec $m=y_B-y_A$ et $p=y_A$ se trouve sur $\mathcal{D}$ et tout point de $\mathcal{D}$ a ses coordonnées qui vérifient l'équation $...................$.
%\nouvitem Soit $k$ l'abcisse du point $M$ d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses. Un point appartient à la droite si et seulement si il a la même abscisse que $M$ c'est  à dire si et seulement si ses coordonnées vérifient  $......$.
%\end{onehalfspace}
%\end{itemize}
%\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir tracer une droite d'équation cartésienne donnée]}
On considère l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $2y-4x=2$.\\
...\\
...\\
...\\
...\\
\end{sanscadre}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{equationsdroitessystemescours2ndefig3.png}
\end{center}



\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ deux points tels que $...............$. Alors la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle a donc une équation de la forme $................$ et on a : $$m=...........................$$
et $$p=.....$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
$x_A\neq x_B$ implique que la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.\\
En outre, on a $y_B=...................$ et $y_A=.......................$ puisque $A$ et $B$ appartiennent à la droite.\\
D'où $y_B-y_A=...................$\\
Donc $m=............................$.\\
En outre, $A(x_A;y_A)$ appartient à la droite donc $y_A=mx_A+p$ d'où $p=$............... .
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points]}
Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par les points $A$ et $B$ de coordonnées $(1;3)$ et $(-2;5)$.\\
...\\
...\\
...\\
...\\
...\\
\end{sanscadre}


\section{Vecteurs directeurs}


\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{vecteur directeur} d'une droite $\mathcal{D}$ tout vecteur non nul .................... ......................... à cette droite.
\end{encadrer}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{equationsdroitessystemescours2ndefig1.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
Dans le plan muni d'un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, le vecteur $\vec{v}$ de coordonnées $(...;...)$ est un vecteur directeur de la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=mx+p$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
On considère les points $A(0;p)$ et $B(1;m+p)$. \\
Ces deux points appartiennent à la droite $\mathcal{D}$ puisque leur coordonnées vérifient l'équation $y=mx+p$.\\
Le vecteur $\vec{AB}$ est un vecteur directeur et a pour coordonnées $(x_B-x_A;y_B-y_A)$ donc ........................\\ .

\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{equationsdroitessystemescours2ndefig4.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $d$ une droite dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ du plan.
Si $d$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$, alors le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées ................ est un vecteur directeur de la droite $d$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Si $b\neq 0$, alors l'équation $ax+by+c=0$ s'écrit $y=\frac{-a}{b}x-\frac{c}{b}$.\\
Donc, d'après la propriété précédente, le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(1;-\frac{a}{b})$ est un vecteur directeur de la droite et par proportionnalité, le vecteur $-b\vec{u}$ de coordonnées  ........................... aussi.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Savoir rechercher un vecteur directeur d'une droite : \\
Soit $d$ la droite d'équation cartésienne $3x+2y-5=0$.\\
...\\
...
\nouvitem Savoir rechercher une équation cartésienne de droite : \\
Soit $d$ la droite passant par le point $A(3;4)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(5;6)$.\\
...\\
...\\
...\\
...\\
...\\
...
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\section{Parallélisme et systèmes d'équations}

\begin{encadrer}{Propriété}
Deux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ sont parallèles si et seulement si deux de leurs vecteurs directeurs sont ....................... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir reconnaître si deux droites sont parallèles d'après leur équation cartésienne]}
\begin{onehalfspace}
Soient $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ d'équations cartésiennes respectives $3x+2y-5=0$ et $-12x-8y-1=0$.\\
...\\
...\\
...\\
...\\
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{encadrer}{Propriété}
Deux droites $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$ d'équations réduites respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles si et seulement si $......................$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On considère les points A et B de la droite d'abscisses respectives $0$ et $1$. Ces deux points appartiennent à la droite $\mathcal{D}$ donc $y_A=.................=..............=...........$ et $y_B=.................=.............=.........$. Les coordonnées de A et B sont donc $(0;........)$ et $(1;.........)$ respectivement. De même, les points $A'$ et $B'$ de coordonnées respectives $(0;.......)$ et $(1;...........)$ appartiennent à la droite $\mathcal{D'}$. D'où, le vecteur $\vec{AB}$ de coordonnées ..................... a la même direction que la droite $\mathcal{D}$ et le vecteur $\vec{A'B'}$ de coordonnées ................................... a la même direction que la droite $\mathcal{D'}$.
 
Les deux droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A'B'}$ ont la même direction c'est à dire  sont colinéaires c'est à dire encore si et seulement si .................................................... ce qui s'écrit finalement ................ .
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\begin{onehalfspace}
\nouvitem Savoir déterminer une équation d'une droite parallèle à une autre :\\
Soit $(d)$ la droite d'équation réduite $y=3x+2$ et A le point de coordonnées $(4;5)$.\\
On cherche l'équation de la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ passant par A.\\
...\\
...\\
...\\
\nouvitem Savoir déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites d'équations données :\\
On considère les droites $(d)$ et $(d')$ d'équations respectives $y=-2x+1$ et $y=x+5$.\\
On cherche les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
...\\
\end{onehalfspace}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Projeté orthogonal d'un point sur une droite}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $d$ une droite du plan et $A$ un point n'appartenant pas à $d$. On appelle \emphref{projeté orthogonal} du point $A$ sur la droite $d$ le point ................... ........................ ......................... .......................... ...................\\
$H$ est aussi appelé .................. de la ............................... à $d$ passant par $A$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $d$ une droite et $A$ un point n'appartenant pas à $d$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$. Alors pour tout point $M$ de $d$, $AM .......... AH$. La distance de $A$ à $d$ est donc égale à .......... .
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{configurationsProjeteOrthogonalFigure.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
Pour tout point $M$ de $d$ distinct de $H$ on a d'après le théorème de Pythagore dans le triangle $AHM$ rectangle en $H$, l'hypoténuse $AM$ de longueur supérieure à celle de $AH$ d'où la propriété.
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
Soit ABC un triangle. On  considère l'un des sommets du triangle. On appelle \emphref{hauteur} issue de ce sommet, la droite ou le segment joignant ce sommet à son projeté orthogonal sur le côté opposé du triangle.
\end{encadrer}


\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{equationsDroitesHauteurs2nde.png}
\end{center}

\end{document}
