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\title{\'Equations de droites, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Equations de droites, cours, classe de 2nde}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Notion d'équation cartésienne de droite}
\pdfrowcolors{lightgray}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $\mathcal{D}$ une droite dans le plan muni d'un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.

On appelle \emphref{équation de la droite} $(\mathcal{D})$ toute équation vérifiée par et uniquement par les coordonnées $(x;y)$ des points de la droite $(\mathcal{D})$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
La droite $(\mathcal{D})$ ci-dessous a pour équation $y=3x+2$ mais aussi $y-3x-2=0$.

Un point $M(x;y)$ appartient à la droite $(\mathcal{D})$ si et seulement si  $x$ et $y$ vérifient $y=3x+2$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{equationsdroitessystemescours2ndefig2.png}
\end{center}

\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Dans un repère, l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que $y=mx+p$ avec $m$ et $p$ deux réels fixés est une droite.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=mx+p$. On sait que sa représentation graphique, c'est à dire l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $y=mx+p$ est une droite.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$ un repère du plan.
\begin{itemize}
\nouvitem Toute droite du plan admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $(a;b)\neq 0$ et $x$ et $y$ sont les inconnues. Cette équation est appelée \emphref{équation cartésienne} de la droite.
\nouvitem réciproquement, toute équation de la forme $ax+by+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $(a;b)\neq 0$ est l'équation d'une droite du plan.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(\mathcal{D})$ la droite passant par les points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ distincts.

Soit $M(x;y)$ un point quelconque.

Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ ont pour coordonnées respectives $(x-x_A;y-y_A)$ et $(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

$M$ appartient à $(\mathcal{D})$ signifie que les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires ce qui se traduit par :
$$(x-x_A)(y_B-y_A)=(y-y_A)(x_B-x_A)$$
d'où après avoir développé et obtenue une équation de second membre nul :
$$(y_B-y_A)x-y(x_B-x_A)-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)=0$$
On a le résultat en posant $a=(y_B-y_A)$, $b=x_B-x_A$ et $c=-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)$. En effet, $y_B-y_A\neq$ ou $x_B-x_A\neq0$ puisque $A$ et $B$ sont distincts.
\nouvitem Réciproquement, on considère une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $(a;b)\neq 0$. Soit $M_0$ un point de coordonnées $(x_0;y_0)$ tel que $ax_0+by_0+c=0$. Pour tout point M de coordonnées $(x;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ on a donc $ax_0+by_0+c-(ax+by+c)=0$ donc $a(x_0-x)+b(y_0-y)=0$. Soit $\vec{u}$ le vecteur de coordonnées $(a;-b)$, le vecteur $\vec{MM_0}$ a lui pour coordonnées $(x_0-x;y_0-y)$. Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles c'est à dire si et seulement si $a(x0-x)+b(y_0-y)=0$. On vient donc de montrer que pour tout point $M$ de coordonnées $(x;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$, $\vec{MM_0}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires c'est  à dire que $M$ appartient à la droite passant par $M$ et de direction $\vec{u}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{\'Equation réduite}

\cadre{
\begin{encadrer}{Théorème et définition}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère et $\mathcal{D}$ une droite. Alors :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $(\mathcal{D})$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et admet une équation de la forme :
$$y=mx+p$$
appelée \emphref{équation réduite} avec :
\begin{itemize}
\item $m$ : nombre réel appelé \emphref{coefficient directeur}.
\item $p$ : nombre réel appelé \emphref{ordonnée à l'origine}.
\end{itemize}
\item[$\bullet$] $(\mathcal{D})$ est parallèle à l'axe des ordonnées et admet une équation de la forme :
$$x=c$$
avec $c$ nombre réel tel que tous les points de la droite $(\mathcal{D})$ ont pour abscisse $c$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{equationsdroitessystemescours2ndefig3.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $ax+by+c=0$ une équation de la droite avec $(a;b)\neq 0$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $b=0$ alors $a\neq 0$ donc $ax+c=0$ d'où $ax=-c$ et $x=-\frac{c}{a}$. $(\mathcal{D})$ est donc parallèle à l'axe des ordonnées.
\nouvitem Si $b\neq 0$ alors $by=-ax-c$ donc $y=-\frac{a}{c}x-\frac{c}{b}$ ce qui est la forme voulue en posant $m=-\frac{a}{c}$ et $p=-\frac{c}{b}$. La droite n'est donc pas parallèle à l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ deux points tels que $x_A\neq x_B$. Alors la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle a donc une équation de la forme $y=mx+p$ et on a : $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$x_B\neq x_B$ implique que la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. En outre, on a $y_B=mx_B+p$ et $y_B=mx_B+p$ puisque $A$ et $B$ appartiennent à la droite. D'où $y_B-y_A=mx_B+p-(mx_A+p)=m(x_B-x_A)$ donc $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par les points $A$ et $B$ de coordonnées $(1;3)$ et $(-2;5)$.\\
$x_A\neq x_B$ donc $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est donc de la forme $y=mx+p$.\\
$m=\frac{y_B-y_A}{x_A-x_B}=\frac{3-5}{1-(-2)}=\frac{-2}{3}$
donc son équation est $y=\frac{-2}{3}x+p$.\\
Or $A\in\mathcal{D}$ donc ses coordonnées vérifient l'équation d'où $3=\frac{-2}{3}\times 1+b$ et $p=3+\frac{2}{3}$\\
c'est à dire $p=\frac{11}{3}$.\\
L'équation est donc $y=\frac{-2}{3}x+\frac{11}{3}$.
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Vecteurs directeurs}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{vecteur directeur} d'une droite $\mathcal{D}$ tout vecteur non nul de direction parallèle à cette droite.
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{equationsdroitessystemescours2ndefig1.png}
\end{center}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Dans le plan muni d'un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, le vecteur $\vec{v}$ de coordonnées $(1;m)$ est un vecteur directeur de la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=mx+p$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On considère les points $A(0;p)$ et $B(1;m+p)$. \\
Ces deux points appartiennent à la droite $\mathcal{D}$ puisque leur coordonnées vérifient l'équation $y=mx+p$.\\
Le vecteur $\vec{AB}$ est un vecteur directeur et a pour coordonnées $(x_B-x_A;y_B-y_A)$ soit $(1-0;m+p-p)$ donc $(1;m)$.

\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{equationsdroitessystemescours2ndefig4.png}
\end{center}

\newpage


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $\mathcal{D}$ une droite dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ du plan.
Si $\mathcal{D}$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$, alors le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche d'un vecteur directeur d'une droite : \\
Soit $d$ la droite d'équation cartésienne $3x+2y-5=0$.\\
Alors le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-2;3)$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
\nouvitem Recherche d'une équation cartésienne de droite : \\
Soit $d$ la droite passant par le point $A(3;4)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(5;6)$.\\
$M(x;y)$ appartient à la droite $d$ si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. 
Avec les coordonnées $(x-3;y-4)$ du vecteur $\vec{AM}$ et l'utilisation du déterminant des vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{v}$ cela se traduit par\\
$5(y-4)-6(x-3)=0$\\
c'est à dire $5y-20-6x+18=0$\\
donc par $-6x+5y-2=0$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Parallélisme}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Deux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{d'}$ sont parallèles si et seulement si deux de leurs vecteurs directeurs sont colinéaires .
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soient $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ d'équations cartésiennes respectives $3x+2y-5=0$ et $-12x-8y-1=0$.\\
$\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(-2;3)$ et $\mathcal{D'}$ a pour vecteur directeur $\vec{v}(8;-12)$.\\
$\vec{v}=-4\vec{u}$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires\\
et les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ sont donc parallèles.
\end{sanscadre}
\cadre{ 
\begin{encadrer}{Propriété}
Deux droites $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$ d'équations réduites respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles si et seulement si $m=m'$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soient $\vec{u}$ de coordonnées $(1;m)$ et $\vec{v}$ de coordonnées $(1;m')$ des vecteurs directeurs de $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$ respectivement.

Les deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs ont même direction c'est à dire sont colinéaires c'est à dire si et seulement si, d'après le déterminant, $1\times m=1\times m'$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(d)$ la droite d'équation réduite $y=3x+2$ et A le point de coordonnées $(4;5)$.\\
On cherche l'équation de la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ passant par A.\\
$(d')$ est parallèle à $(d)$ donc admet une équation réduite $y=mx+p$ et son coefficient directeur $m$ est 3 .\\
$A\in (d')$ donc $y_A=3x_A+p$ d'où $5=3\times 4+p$ et $p=5-12=-7$.\\
D'où l'équation $y=3x-7$.
\nouvitem On considère les droit
On considère les droites $(d)$ et $(d')$ d'équations respectives $y=-2x+1$ et $y=x+5$.\\
Les coefficients directeurs sont différents donc les droites sont sécantes.\\
Pour trouver les coordonnées $(x;y)$ du point d'intersection M, on résout le système d'équations :
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\y&=x+5\end{aligned}\right.\]

Ce système équivaut à :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
\begin{minipage}{8cm}
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\-2x+1&=x+5\end{aligned}\right.\]
donc à :
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\-2x-x&=5-1\end{aligned}\right.\]
d'où 
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\-3x&=4\end{aligned}\right.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\x&=\frac{-4}{3}\end{aligned}\right.\]
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2\frac{-4}{3}+1\\x&=\frac{-4}{3}\end{aligned}\right.\]
\[\left\{\begin{aligned}y&=\frac{11}{3}\\x&=\frac{-4}{3}\end{aligned}\right.\]

\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}
Les coordonnées du point d'intersection sont donc $(\frac{-4}{3};\frac{11}{3};)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Projeté orthogonal d'un point sur une droite}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $d$ une droite du plan et $A$ un point n'appartenant pas à $d$. On appelle \emphref{projeté orthogonal} du point $A$ sur la droite $d$ le point d'intersection $H$ de la droite perpendiculaire à $d$ passant par le point $A$. $H$ est aussi appelé \emphref{pied} de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$.
\end{encadrer}
}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $d$ une droite et $A$ un point n'appartenant pas à $d$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$. Alors pour tout point $M$ de $d$, $AM\geq AH$. La distance de $A$ à $d$ est donc égale à $AH$.
\end{encadrer}
}
\pdfrowcolors{}

\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Preuve}
Pour tout point $M$ de $d$ distinct de $H$ on a d'après le théorème de Pythagore dans le triangle $AHM$ rectangle en $H$ l'hypoténuse $AM$ de longueur supérieure à celle de $AH$ d'où la propriété.
\end{sanscadre}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{configurationsProjeteOrthogonalFigure.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit ABC un triangle. On  considère l'un des sommets du triangle. On appelle \emphref{hauteur} issue de ce sommet, la droite ou le segment joignant ce sommet à son projeté orthogonal sur le côté opposé du triangle.
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{equationsDroitesHauteurs2nde.png}
\end{center}
\end{document}
