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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\title{Variations de fonctions, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Variations de fonctions - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}




\begin{center}
{\LARGE \textbf{Variations de fonctions, cours, 2nde}}
\end{center}


\pdfrowcolors{}

\section{Croissance, décroissance}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres réels :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ alors ............ .......... c'est à dire que le sens de l'inégalité ............ ............. lorsque l'on ajoute le même nombre dans les deux membres ;
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c>0$ alors .......... ............. c'est à dire que le sens de l'inégalité ............. ............ lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un même nombre strictement positif ;
\item[$\bullet$] si $a\leq  b$ et $c<0$ alors ............. .............. c'est à dire que le sens de l'inégalité .......... ............ lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par le même nombre strictement négatif.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite ......................... sur l'intervalle $I$ lorsque pour tous $x_1$ et $x_2$ réels appartenant à $I$, si $x_1\leq x_2$ alors ......................., c'est à dire que $f$ ................... .............. ............... des inégalités.
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite ....................... sur l'intervalle $I$ lorsque pour tous $x_1$ et $x_2$ réels appartenant à $I$, si $x_1\leq x_2$ alors .........................., c'est à dire que $f$  ................ ................... .............. des inégalités.

\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite ...................... sur l'intervalle $I$ lorsqu'elle est .................... ................, ou lorsqu'elle est ................ ................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
Fonction croissante sur $[-1;4]$& Fonction décroissante sur $[-1;4]$ \\
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsgeneralitescoursimgfonctioncroissantevide.png} &
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsgeneralitescoursimgfonctiondecroissantevide.png}\\
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{encadrer}{Synthèse}
Pour résumer les variations d'une fonction $f$ on utilise un ............. ................... dans lequel apparaissent les intervalles sur lesquels la fonction est monotone.
\end{encadrer}
\pdfrowcolors{}

\begin{sanscadre}{Exemple [Dresser le tableau de variations d'une fonction par lecture graphique]}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 8]$ représentée ci-contre.
 La fonction semble, d'après la représentation graphique, admettre le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\rowcolors{0}{}{}
\begin{tabular}{|c|lcccc|}
\hline
$x$ & 0 & & ... & & 8 \\
\hline
$f(x)$ & ... & & & & .... \\
 & & .... & & .... & \\
 & &  & .... & & \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&

\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{fonctionsgeneralitescoursimgrepgraph.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple [\'Etudier les variations en utilisant des inégalités]}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x +3$.\\
Pour étudier ses variations l'intervalle $\mathbb{R}$, soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1......x_2$\\
On va étudier si appliquer la fonction à $x_1$ et $x_2$ change ou ne change pas le sens de l'inégalité.\\
D'après les règles sur les inégalités, -2 étant négatif on a donc $-2x_1........ -2x_2$\\
Puis $-2x_1+3..... -2x_2+3$\\
C'est  à dire $f(x_1).....f(x_2)$.\par
\noindent La fonction $f$ a donc changé le sens de l'inégalité, elle est donc ..................... .................. sur $\mathbb{R}$.
\end{sanscadre}


\section{Maximum, minimum}

\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Soit $x_0$ un réel de l'intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ admet un \emphref{maximum} $M$ en $x_0$ sur l'intervalle $I$ lorsque:
	\begin{itemize}
	\item[$\blacktriangleright$] .......  ;
	\item[$\blacktriangleright$] pour tout nombre $x$ de $I$ ............. .
	\end{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ admet un \emphref{minimum} $m$ en $x_0$ sur l'intervalle $I$ lorsque :
	\begin{itemize}
	\item[$\blacktriangleright$] ........ ;
	\item[$\blacktriangleright$] pour tout nombre $x$ de $I$ ............ .
	\end{itemize}
\item[$\bullet$] On dit que la fonction $f$  admet un \emphref{extremum} sur $I$ si elle admet .......... ................ ............... ................
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
La fonction $g$ précédente semble admettre :
\begin{itemize}
\nouvitem un minimum  .......... 
\nouvitem un maximum .........
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\section{Cas particulier : variations des fonctions affines}


\begin{encadrer}{Définition}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle fonction \emphref{affine} la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$................$$
\end{encadrer}

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a>0$ alors la fonction $f$ est ............. ................. sur $]-\infty ;+\infty[$;
\item[$\bullet$] si $a=0$ alors la fonction $f$ est ................... sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
\item[$\bullet$] si $a<0$ alors la fonction $f$ est ............ ................ sur $]-\infty ; +\infty[$.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$.........$$
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & ..... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$.....$$

\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & ...... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a>0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ ....................,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1).........f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1.......x_2$.\\ 
Alors $ax_1........ax_2$ et $ax_1+b....... ax_2+b$\\
c'est à dire $f(x_1)............f(x_2)$ donc $f$ est strictement .................... sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
\item[$\bullet$] Si $a=0$, pour tout $x$ réel, $f(x)=b$ donc $f$ est ..................... égale à $b$ ;
\item[$\bullet$] si $a<0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ ...............,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)......f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$.\\
Alors on a $ax_1.......ax_2$ puis $ax_1+b.........ax_2+b$\\
c'est à dire $f(x_1)>f(x_2)$
donc $f$ est strictement ................. sur $]-\infty ; +\infty[$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir reconnaître les variations d'une fonction affine dont l'écriture algébrique est donnée]}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3-2x$.\\
$f(x)=$.................. donc $a=$....... .\\
Comme $a......$, la fonction $f$ est strictement ..................... sur $]-\infty;+\infty[$.
\end{sanscadre}
\end{document}
