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\title{\'Etude des variations de fonctions, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Etudes de variations et de signes de fonctions - 2nde}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\pdfrowcolors{lightgray}

\section{Propriétés des inégalités (rappels)}


\begin{encadrer}{Propriétés (rappels sur les propriétés des inégalités)}
Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres réels :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 
    \begin{itemize}
     \item[] si $a\leq b$ alors $a+c\leq b+c$,
      \item[] c'est à dire que \emphref{le sens de l'inégalité ne change pas} 
      \item[]lorsque l'\emphref{on ajoute le même nombre} dans les deux membres ;
    \end{itemize}
\item[$\bullet$] 
    \begin{itemize}
    \item[] si $a\leq b$ et $c>0$ alors $ac\leq bc$,
    \item[] c'est à dire que \emphref{le sens de l'inégalité ne change pas} 
    \item[] lorsque l'on \emphref{multiplie les deux membres} de l'inégalité par un \emphref{même nombre strictement positif} ;
  \end{itemize}
\item[$\bullet$] 
    \begin{itemize} 
    \item[] si $a\leq  b$ et $c<0$ alors $ac\geq bc$,
    \item[] c'est à dire que le sens de l'inégalité change 
    \item[] lorsque l'on \emphref{multiplie les deux membres} de l'inégalité par le \emphref{même nombre strictement négatif}.
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{encadrer}



\section{Variations de fonctions}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite \emphref{croissante} sur l'intervalle $I$ lorsque pour tous $x_1$ et $x_2$ réels appartenant à $I$, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\leq f(x_2)$, c'est à dire que $f$ \emphref{ne change pas} l'ordre des inégalités.
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite \emphref{décroissante} sur l'intervalle $I$ lorsque pour tous $x_1$ et $x_2$ réels appartenant à $I$, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\geq f(x_2)$, c'est à dire que $f$  \emphref{change}  l'ordre des inégalités.

\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite \emphref{monotone} sur l'intervalle $I$ lorsqu'elle est croissante sur $I$, ou lorsqu'elle est décroissante sur $I$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
Fonction croissante sur $[-1;4]$& Fonction décroissante sur $[-1;4]$\\
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsgeneralitescoursimgfonctioncroissante.png} &
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsgeneralitescoursimgfonctiondecroissante.png}\\
\end{tabular}
\end{center}

\newpage


\begin{encadrer}{Synthèse}
Pour résumer les variations d'une fonction $f$ on utilise un \emphref{tableau de variations} dans lequel apparaissent les intervalles sur lesquels la fonction est monotone.
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Exemple [Dresser le tableau de variations d'une fonction par lecture graphique]}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 8]$ représentée ci-contre.
 La fonction semble, d'après la représentation graphique, admettre le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\rowcolors{0}{}{}
\begin{tabular}{|c|lcccc|}
\hline
$x$ & 0 & & 2 & & 8 \\
\hline
$f(x)$ & 32 & & & & 64 \\
 & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & &  & 28 & & \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&

\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{fonctionsgeneralitescoursimgrepgraph.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\end{sanscadre}




\begin{sanscadre}{Exemple [\'Etudier les variations en utilisant des inégalités]}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x +3$.\\
Pour étudier ses variations l'intervalle $\mathbb{R}$, soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1\leq x_2$.\\
On va étudier si appliquer la fonction à $x_1$ et $x_2$ change ou ne change pas le sens de l'inégalité.\\
D'après les règles sur les inégalités, -2 étant négatif on a donc $-2x_1\geq -2x_2$\\
Puis $-2x_1+3\geq -2x_2+3$\\
C'est  à dire $f(x_1)\geq f(x_2)$.\par
\noindent La fonction $f$ a donc changé le sens de l'inégalité, elle est donc décroissante sur $\mathbb{R}$.
\end{sanscadre}

\begin{center}
 \includegraphics[width=5cm]{fonctionsvariationsexemplevariationsinegalites.png}
\end{center}

\newpage



\section{Maximum, minimum}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Soit $x_0$ un réel de l'intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ admet un \emphref{maximum} $M$ en $x_0$ sur l'intervalle $I$ lorsque:
	\begin{itemize}
	\item[$\blacktriangleright$] $M=f(x_0)$ ;
	\item[$\blacktriangleright$] pour tout nombre $x$ de $I$ $f(x)\leq M$.
	\end{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ admet un \emphref{minimum} $m$ en $x_0$ sur l'intervalle $I$ lorsque :
	\begin{itemize}
	\item[$\blacktriangleright$] $m=f(x_0)$ ;
	\item[$\blacktriangleright$] pour tout nombre $x$ de $I$ $f(x)\geq m$.
	\end{itemize}
\item[$\bullet$] On dit que la fonction $f$  admet un \emphref{extremum} sur $I$ si elle admet un maximum ou un minimum.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
La fonction $g$ précédente semble admettre 28 comme minimum et 64 comme maximum.
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par $f(x)=-3x^2+2$.\\
Montrons que 2 est un maximum pour la fonction $f$ sur $[0;10]$.\\
On a d'abord $f(0)=2$.\\
En outre, pour tout réel $x$ de l'intervalle, $f(x)-2=-3x^2+2-2=-3x^2$.\\
Or si $x$ est positif, alors $-3x^2$ est négatif.\\
Donc $f(x)-2\leq 0$.\\
Ce qui montre que $f(x)\leq 2$.\\
D'où 2 est un maximum pour la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Cas particulier : étude des variations des fonctions affines}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle fonction \emph{affine} la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x)=ax+b$$
\end{encadrer}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a>0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
\item[$\bullet$] si $a=0$ alors la fonction $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ ;
\item[$\bullet$] si $a<0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
\end{itemize}

\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$a>0$$
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$a<0$$
\rowcolors{1}{}{}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & $\searrow$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a>0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ augmente,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)<f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$.\\ 
Alors $ax_1< ax_2$ et $ax_1+b< ax_2+b$\\
c'est à dire $f(x_1)< f(x_2)$ donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
\item[$\bullet$] Si $a=0$, pour tout $x$ réel, $f(x)=b$ donc $f$ est constante égale à $b$ ;
\item[$\bullet$] si $a<0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ diminue,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)>f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$.\\
Alors on a $ax_1> ax_2$ puis $ax_1+b> ax_2+b$\\
c'est à dire $f(x_1)>f(x_2)$
donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; +\infty[$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir reconnaître les variations d'une fonction affine dont l'écriture algébrique est donnée]}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3-2x$.\\
$f(x)=3+(-2x)=-2x+3$ donc $a=-2$.\\
Comme $a<0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$.
\end{sanscadre}


\end{document}
