Variations de fonctions, cours, classe de 2nde

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I - Propriétés des inégalités (rappels)

Soient a, b et c trois nombres réels.

Si $a\leq b$ alors____ $a+c\leq b+c$,
c'est à dire que ____le sens de l'inégalité ne change pas lorsque l'on ajoute le même nombre dans les deux membres.
Si $a\leq b$ et $c >0$, alors ____$ac\leq bc$,
c'est à dire que ____le sens de l'inégalité ne change pas lorsque l'on mulitplie les deux membres de l'inégalité par le même nombre strictement positif;
Si $a \leq b$ et $c < 0$, alors ____$ac\geq bc$,
c'est à dire que ____l'inégalité change de sens lorsque l'on multiplie les deux membres par le même nombre strictement négatif

II - Croissance, décroissance, monotonie

Définition : croissance, décroissance, monotonie

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

La fonction f est dite ____ croissante sur l'intervalle I lorsque pour tous les réels $x_1$ et $x_2$ appartenant à I, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\leq f(x_2)$ ;
c'est à dire que f ____ ne change pas le sens des inégalités.
La fonction f est dite ____ décroissante sur l'intervalle I lorsque pour tous les réels $x_1$ et $x_2$ appartenant à I, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\geq f(x_2)$ ;
c'est à dire que f ____ change le sens des inégalités.
La fonction f est dite ____ monotone sur l'intervalle I si elle est croissante sur (tout) l'intervalle I ou si elle est décroissante sur (tout) l'intervalle I.

Synthèse :

Pour résumer les variations d'une fonction f, on utilise un ____ tableau de variations dans lequel apparaissent les intervalles sur lesquels la fonction est monotone.

Exemple :

On considère la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction g définie par $g(x)=x^2-4x+32$ sur l'intervalle [0 ; 8] :

La fonction g semble admettre d'après la représentation graphique précédente, le tableau de variations suivant : _________

`x`	0		2		8
	32				64
`g(x)`		$\searrow$		$\nearrow$
			28

Exemple :[Savoir étudier les variations en utilisant des inégalités ]

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x+3$.
Pour étudier ses variations sur l'intervalle $\mathbb{R}$, soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1\leq x_2$.
On va étudier si appliquer la fonction à $x_1$ et $x_2$ change ou ne change pas le sens de l'inégalité.
____D'après les règles sur les inégalités, -2 étant négatif, on a donc $-2x_1\geq -2x_2$.
Puis ____ $-2x_1+3\geq -2x_2+3$.
C'est à dire ____$f(x_1)\geq f(x_2)$.
La fonction $f$ a donc ____changé le sens de l'inégalité, elle est donc décroissante sur $\mathbb{R}$.

III - Maximum et minimum

Définition : maximum, minimum

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit $x_0$ un réel de l'intervalle I.

La fonction f admet un maximum M en $x_0$ sur l'intervalle I lorsque :_________
- $M=f(x_0)$ ;
- pour tout réel x de I, $f(x)\leq M$.
La fonction f admet un minimum m en $x_0$ sur l'intervalle I lorsque : _________
- $m=f(x_0)$ ;
- pour tout réel x de I, $f(x)\geq m$.
On dit que la fonction f admet un extremum sur I si elle admet un maximum sur I ou si elle admet un minimum sur I.

Exemple : [Lire graphiquement un maximum ou un minimum]

La fonction g précédente semble admettre :

un minimum _________ m = 28 en $x_0$=2 ;
un maximum _________ M = 64 atteint en 8.

Exemple :[Savoir démontrer l'existence d'un maximum ou d'un minimum algébriquement ]

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;10]$ par $f(x)=-3x^2+2$.
Montrons que 2 est un maximum pour cette fonction sur $[0 ;10]$.
On a d'abord $f(0)=$____2.
En outre, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;10]$, $f(x)-2=$____$-3x^2+2-2=-3x^2$.
Or, si $x$ est positif, alors $-3x^2$ est ____négatif.
Donc ____$f(x)-2\leq 0$ c'est à dire $f(x)\leq 2$.
D'où 2 est un maximum pour la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;10]$.

IV -Cas particulier : variations des fonctions affines

Propriété :

____ Soient $a$ et $b$ deux réels et $f$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax+b$

Si $a>0$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;+\infty[$ ;
Si $a$ est négatif, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$ ;
Si $a=0$, alors la fonction est constante égale à $b$.

____Si $a$ est positif :

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$f(x)$		$\nearrow$

____Si $a$ est négatif :

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$f(x)$		$\searrow$

Preuve :

Si $a>0$,____ soient $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1 < x_2$.
Alors $ax_1 < ax_2$ ;
et $ax_1+b < ax_2+b$ ;
c'est à dire $f(x_1) < f(x_2)$ donc $f$ conserve les inégalités et est donc strictement croissante sur $]-\infty ; +\infty[$.
Si $a < 0$,____ soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1 < x_2$
Alors $ax_1>ax_2$ ;
et $ax_1+b>ax_2+b$ ;
c'est à dire $f(x_1)>f(x_2)$ donc $f$ change le sens des inégalités et est donc strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$.

Exemple :[Savoir reconnaître les variations d'une fonction affine dont l'écriture algébrique est donnée ]

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3-2x$.
____ $f(x)=3+(-2x)=-2x+3$ donc $f$ est affine avec $a=-2$ et $b=3$.
Comme $a < 0$,la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$. -