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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\title{Résolutions graphiques et signes de fonctions, cours, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Résolutions d'inéquations et étude de signe de fonctions, cours, classe de 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\begin{center}
{\LARGE \textbf{Résolutions d'inéquations et étude de signes de fonctions, cours, 2nde}}
\end{center}


\section{Intersection et réunion d'intervalles}


\begin{encadrer}{Définition}
Soient $I$ et $J$ deux intervalles.
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{L'intersection} de $I$ et $J$ notée .................. est l'ensemble des nombres qui appartiennent ........................... ......................
\nouvitem \emphref{La réunion} de $I$ et $J$ notée .................. est l'ensemble des nombres qui appartiennent  ................... ................... ........................ .
\nouvitem Lorsque les intervalles $I$ et $J$ n'ont aucun point commun, leur intersection est ...................... ..................... noté ............ . On dit aussi que les intervalles sont .................. .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{intervallesReunionIntersectionImgIncomplete.png}
\end{center}
Soit $I=[-5 ; -1]$ et $J=[-2;3]$.\\
L'intersection $I\cap J$ est ............. .\\
La réunion $I\cup J$ est ................ .
\end{sanscadre}


\section{Résolution graphique d'inéquations}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x)\leq k$ (respectivement $f(x) \geq k$) sont ................... ....................... ............................... ............................ ................................. .........................
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Sur la figure ci-contre, est représentée la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 6]$ :

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImgIncomplete.png}
\end{center}

L'inéquation $f(x)\geq -0,5$ a pour ensemble de solutions .............................. environ.

\end{sanscadre}



\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x) \leq g(x)$ sont les ....................... des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés ...................... des points de $\mathcal{C}_g$ de même ............. .
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImg2Incomplete.png}
\end{center}
Ci-dessus, $\mathcal{C}_f$ est la courbe bleue et $\mathcal{C}_g$ est la courbe verte.  L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\leq g(x)$ semble être ................. .
\end{sanscadre}


\section{Signe de fonction}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{positive} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, ................. ;
\nouvitem \emphref{négative} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, ................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}


\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{signesfonctionimgIncomplete.png}
\end{center}

 Pour visualiser le signe d'une fonction, on utilise un \emphref{tableau de signes} :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
 \hline
$x$& .... & & ..... & & ...... & & ..... & & ...... \\
\hline 
$f(x)$ & & ..... & ..... & ..... & ..... & ..... & .... & .... &  \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}
\end{sanscadre}

\section{Cas particulier : étude de signes de fonctions affines}


\subsection{Propriétés des inégalités (rappels)}

\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres réels :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ alors ............ .......... c'est à dire que le sens de l'inégalité ............ ............. lorsque l'on ajoute le même nombre dans les deux membres ;
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c>0$ alors .......... ............. c'est à dire que le sens de l'inégalité ............. ............ lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un même nombre strictement positif ;
\item[$\bullet$] si $a\leq  b$ et $c<0$ alors ............. .............. c'est à dire que le sens de l'inégalité .......... ............ lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par le même nombre strictement négatif.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{\'Etude de signe des fonctions affines}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle fonction \emphref{affine} la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$................$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $a\neq0$, les deux cas possibles sont résumés dans les tableaux de signe suivants :
 \end{encadrer}
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{cc}
Si $........$ :
&
Si $........$ :
\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $....$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & .... & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $.......$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & ... & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
$f(x)>0$ signifie $ax+b>0$\\
Si $a>0$ cela équivaut à .................\\
ou encore à ..................\\
D'où le premier tableau de signe.\\
Si $a<0$, $f(x)>0$ équivaut à ................ donc à ......................\\
D'où le second tableau de signe.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir dresser le tableau de signe d'une fonction affine]}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x+3$.\\
\begin{itemize}
\nouvitem On résout l'équation $f(x)=0$ pour savoir pour quelle valeur de $x$, $f(x)$ s'annule  :\\
$f(x)=0$ équivaut à .....................\\
c'est à dire à ................\\
donc .......\\
\nouvitem On dresse le tableau de signes :\\
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & ........... & & $+\infty$ \\
\hline
$f(x)$ & & .... & .... & ..... &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\end{document}
