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\title{Résolution d'inéquations et fonctions, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Résolution d'inéquations et fonctions - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\pdfrowcolors{lightgray}


\section{Compléments sur les intervalles}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $I$ et $J$ deux intervalles.
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{L'intersection} de $I$ et $J$ notée $I\cap J$ est l'ensemble des nombres qui  appartiennent à la fois à $I$ \emphref{et} à $J$.
\nouvitem \emphref{La réunion} de $I$ et $J$ notée $I\cup J$ est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I \emphref{ou} à J, c'est à dire, soit à $I$, soit à $J$, soit aux deux.
\nouvitem Lorsque les intervalles $I$ et $J$ n'ont aucun point commun, leur intersection est \emphref{l'ensemble vide} noté $\emptyset$. On dit aussi que les intervalles sont \emphref{disjoints}.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles]}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{intervallesReunionIntersectionImg.png}
\end{center}
Soit $I=[-5 ; -1]$ et $J=[-2;3]$.\\
L'intersection $I\cap J$ est $[-2 ; -1]$.\\
La réunion $I\cup J$ est $[-5 ; 3]$.
\end{sanscadre}

\section{Résolutions graphiques d'inéquations}


\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x)\leq k$ (respectivement $f(x) \geq k$) sont les \emphref{abscisses} des points de la courbe situés en dessous (respectivement au dessus) de la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;k)$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir lire graphiquement les solutions d'une inéquation]}
Sur la figure ci-contre, est représentée la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 6]$ :

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImg.png}
\end{center}

L'inéquation $f(x)\geq -0,5$ a pour ensemble de solutions $[-2,5;2,5]\cup ]3;6]$ environ.

\end{sanscadre}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x) \leq g(x)$ sont les \emphref{abscisses} des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés en dessous des points de $\mathcal{C}_g$ de même abscisse.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImg2.png}
\end{center}
Ci-dessus, $\mathcal{C}_f$ est la courbe bleue et $\mathcal{C}_g$ est la courbe verte.  L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\leq g(x)$ semble être [-3 ; 1].
\end{sanscadre}

\section{\'Etude de signe de fonctions}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle fonction \emph{affine} la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x)=ax+b$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{positive} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\geq 0$ ;
\nouvitem \emphref{négative} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\leq 0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Dresser le tableau de signe d'une fonction par lecture graphique]}


\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{signesfonctionimg.png}
\end{center}

 Pour visualiser le signe d'une fonction, on utilise un \emphref{tableau de signes} :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
 \hline
$x$& -3 & & -2 & & 1 & & 4 & & 6 \\
\hline 
$f(x)$ & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + &  \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}
\end{sanscadre}

\section{Cas particulier : étude du signe des fonctions affines}

\subsection{Propriétés des inégalités (rappels)}


\begin{encadrer}{Propriétés (rappels sur les propriétés des inégalités)}
Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres réels :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 
    \begin{itemize}
     \item[] si $a\leq b$ alors $a+c\leq b+c$,
      \item[] c'est à dire que \emphref{le sens de l'inégalité ne change pas} 
      \item[]lorsque l'\emphref{on ajoute le même nombre} dans les deux membres ;
    \end{itemize}
\item[$\bullet$] 
    \begin{itemize}
    \item[] si $a\leq b$ et $c>0$ alors $ac\leq bc$,
    \item[] c'est à dire que \emphref{le sens de l'inégalité ne change pas} 
    \item[] lorsque l'on \emphref{multiplie les deux membres} de l'inégalité par un \emphref{même nombre strictement positif} ;
  \end{itemize}
\item[$\bullet$] 
    \begin{itemize} 
    \item[] si $a\leq  b$ et $c<0$ alors $ac\geq bc$,
    \item[] c'est à dire que le sens de l'inégalité change 
    \item[] lorsque l'on \emphref{multiplie les deux membres} de l'inégalité par le \emphref{même nombre strictement négatif}.
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{\'Etude de signe de fonctions affines}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle fonction \emph{affine} la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x)=ax+b$$
\end{encadrer}
\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $a\neq0$, les deux cas possibles sont résumés dans les tableaux de signe suivants :
 \end{encadrer}
 
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{cc}
si $a>0$ :
&
si $a<0$ :
\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & - & 0 & + & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & + & 0 & - & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$f(x)>0$ signifie $ax+b>0$\\
c'est à dire $ax>-b$ ou encore\\
si $a<0$, $x<-\frac{b}{a}$\\
et, si $a>0$, $x>-\frac{b}{a}$.\\
D'où les tableaux de signe.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir dresser le tableau de signe d'une fonction affine]}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x+3$.\\
\begin{itemize}
\nouvitem On résout l'équation $f(x)=0$ pour savoir pour quelle valeur de $x$, $f(x)$ s'annule  :\\
$f(x)=0$ équivaut à $-2x+3=0$ c'est à dire à $-2x=-3$ donc $x=\frac{-3}{-2}$ ou encore $x=\frac{3}{2}$.\\
\nouvitem On dresse le tableau de signe :\\
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $\frac{3}{2}$ & & $+\infty$ \\
\hline
$f(x)$ & & + & 0 & - &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\end{document}
