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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\newenvironment{systemedeq}[4]{\left\{ \begin{array}{rcl} #1 & = & #2 \\ #3 & = & #4 \\ \end{array} \right.}

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\title{Vecteurs, cours pour la classe de seconde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Vecteurs, cours pour la classe de seconde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
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\begin{center}
 {\LARGE \textbf{Vecteurs, cours de seconde}}
\end{center}

\begin{onehalfspace}
\section{Translation et vecteur}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $A$ et $B$ deux points du plan. \`A tout point $M$ du plan on associe le point $M'$ tel $ABM'M$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). $M'$ est \emphref{l'image} de $M$ par ........... .............. ............... .................. ............... On dit alors que $M'$ est l'image de $M$ par ........... ............. .............. ............. . On dit aussi que $\vec{MM'}$ et $\vec{AB}$ sont ........ ...... ............  et on note ............. ................. On notera aussi $\vec{u}$ tout vecteur tel que $\vec{u}=\vec{AB}=\vec{MM'}$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{vecteursDefinitionVecteur.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A'B'}$ sont donc égaux si et seulement si les trois conditions suivantes sont vraies :
\begin{itemize}
 \nouvitem les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont .............. : on dit qu'elles ont la même ............... ;
\nouvitem le ................. de $A$ vers $B$ est le même que de $A'$ vers $B'$ ;
\nouvitem les segments $[AB]$ et $[A'B']$ ont même ................... : on dit qu'ils ont la même ..................
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $A$ et $B$ deux points du plan. On appelle :
\begin{itemize} 
 \nouvitem \emphref{vecteur opposé} au vecteur $\vec{AB}$ le vecteur .................. On note ............................ .
\nouvitem ........... ........... le vecteur $\vec{AA}$ ou $\vec{BB}$. On note $\vec{AA}=\vec{BB}=$...... .
\end{itemize}

\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $A$, $B$ et $M$ trois points. $M$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si .......................... .
\end{encadrer}


\section{Coordonnées de vecteurs}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $(O;I;J)$ un repère du plan.
\begin{itemize}
\nouvitem On considère les vecteurs $\vec{i}=\vec{OI}$ et $\vec{j}=\vec{OJ}$. Le repère $(O;I;J)$ est aussi noté $(O;\vec{i};\vec{j})$.
\nouvitem Soit $\vec{u}$ un vecteur. On appelle \emphref{coordonnées du vecteur} $\vec{u}$ dans le repère $(O ;I ;J)$, les coordonnées de l'unique point M tel que ............... ............... .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{vecteurscoordonneesimg2nde.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple}
[Lecture graphique de coordonnées de vecteurs]\\
 Sur la figure ci-dessus, $A$ a pour coordonnées ............ et $B$ a pour coordonnées ................ Les coordonnées du point $M$ tel que .................... sont .......... . Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont donc ..............
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Les coordonnées de vecteurs peuvent être notées verticalement : $\vec{u}(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$ s'écrit ainsi aussi $\coordvec{x_{\vec{u}}}{y_{\vec{u}}}$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux si et seulement si ........... .............. .................. ................ ...........
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Soient $A$ et $B$ deux points tels que $\vec{AB}=\vec{u}$ et $C$ et $D$ deux points tels que $\vec{CD}=\vec{v}$. Soit $M$ le point tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$ et $N$ le point tel que $\vec{ON}=\vec{CD}$. Alors $\vec{u}=\vec{v}$ si et seulement si $\vec{AB}=\vec{CD}$ c'est à dire $\vec{OM}=\vec{ON}=\vec{AB}$ c'est à dire encore $M$ et $N$ sont confondus ce qui signifie qu(ils ont les mêmes coordonnées dans le repère $(O ; I ; J)$.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux points de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. Alors les coordonnées de $\vec{AB}$ sont $$...$$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
[Calcul des coordonnées d'un point vérifiant une égalité vectorielle]\\
 Soient $A$, $B$ et $C$ les points de coordonnées respectives $(-2;3)$, $(2;1)$ et $(1;4)$ dans un repère du plan.\\
Cherchons les coordonnées du point $D$ tel que $\vec{BA}=\vec{CD}$\\
$\vec{BA}$ a pour coordonnées ......................\\
c'est à dire ......................\\ donc ....... .\\
Le vecteur $\vec{CD}$ a lui pour coordonnées ........................\\
Les deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales c'est à dire .......... et ............\\
d'où ................ et ............. \\
donc ............. et .............\\
$D$ a donc pour coordonnées ..........
\end{sanscadre}

\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{vecteurscoordonneesegaliteimg2nde.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
\begin{itemize}
\nouvitem Algorithme de calcul des coordonnées $(x_{AB};y_{AB})$ du vecteur $\vec{AB}$ dont les extrémités $A$ et $B$ ont pour coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :
\begin{algorithm}
\Entree{.....}
\Traitement{
Affecter à $x_{AB}$ la valeur .............. ;\\
Affecter à $y_{AB}$ la valeur ............. ;\\}
\Sortie{$x_{AB}$, $y_{AB}$.}
\end{algorithm}
\nouvitem Algorithme de test de l'égalité de deux vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ dont les coordonnées $(x_1,y_1)$ et $(x_2 ;y_2)$ sont données :
\begin{algorithm}
\Entree{$x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ ;}
\Traitement{
\eSi {...................}{
\Retour{vecteurs égaux};
}
{\Retour{vecteurs pas égaux};}}
\end{algorithm}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Somme de vecteurs}

\subsection{Relation de Chasles}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{BC}$.

La \emphref{somme des vecteurs} $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+\vec{v}$, est le vecteur .................... résultant de l'enchaînement des translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété (relation de CHASLES)}
Pour tous les points $A$, $B$ et $C$ on a donc $$.....$$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{vecteurscours2ndefig1.png}
\end{center}


\subsection{Différence de deux vecteurs}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs. On appelle \emphref{différence} du vecteur $\vec{u}$ par le vecteur $\vec{v}$ le vecteur noté $\vec{u}-\vec{v}$ égale à $............................$.
\end{encadrer}
 
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{vecteursdifferencedefinitionimg2nde.png}
\end{center}


\subsection{Coordonnées de sommes de vecteurs}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de coordonnées $(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$ et $(x_{\vec{v}};y_{\vec{v}})$.
\begin{itemize}
\nouvitem $-\vec{u}$ a pour coordonnées .......................... ;
\item[$\bullet$] $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées ......................................... ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
\nouvitem soient $A$ et $B$ sont deux points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$. Les coordonnées de $\vec{u}$ sont donc ................... . Or $\vec{BA}=-\vec{u}$ et a pour coordonnées ........................ qui sont opposées à celles de $\vec{u}$ ;
\nouvitem Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{BC}$. D'après la relation de Chasles on peut écrire que $\vec{u}+\vec{v}=\vec{AB}+\vec{BC}=..............$. Or les abscisses de $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ sont respectivement $x_B-x_A$ et $x_C-x_B$. Leur somme est ...................... ........... qui est l'abscisse de ............. . De même pour les ordonnées.
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{vecteurssommecoordonneesimg2nde.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Exemples de calculs sur les coordonnées de sommes}
\begin{itemize}
\nouvitem [Calcul de coordonnées de sommmes de vecteurs]\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan de coordonnées respectives $(-3;1)$, $(1,4)$ et $(2;3)$. Alors le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(2;3)$, le vecteur $\vec{BC}$ a pour coordonnées $(3;-1)$. On peut vérifier que $\vec{AC}$ a pour coordonnées ................. soit ............ .
\nouvitem[Calcul de coordonnées de points vérifiant une égalité vectorielle avec une somme]\\
Soient $A(-3 ;1)$ et $B(1;4)$.\\
On cherche les coordonnées du point M tel que $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}$.\\
$\vec{MA}$........................ donc .........................\\
$\vec{MB}$........................ donc .........................\\
D'où $\vec{MA}+\vec{MB}$..................\\
donc $\vec{MA}+\vec{MB}........$.\\
De la contrainte $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}$ on déduit :\\
............... et ..............\\
c'est à dire .............. et ............\\
D'où ................ et ..............\\
D'où $M(....................)$.
\end{itemize} 
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de calcul vectoriel}
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.Soit $\vec{u}=\vec{AB}-\vec{AC}+\vec{BC}$.\\
Alors $\vec{u}=......$ \\
D'où $\vec{u}=........$\\
Donc $\vec{u}=.........$\\
et $\vec{u}=....$
\end{sanscadre}
 \end{onehalfspace}
\end{document}


