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\title{Vecteurs, cours pour la classe de seconde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Vecteurs, cours pour la classe de seconde}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Notion de vecteur}

\pdfrowcolors{lightgray}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $A$ et $B$ deux points du plan. \`A tout point $M$ du plan on associe le point $M'$ tel $ABM'M$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). $M'$ est \emphref{l'image} de $M$ par la \emphref{translation} qui amène $A$ en $B$. On dit alors que $M'$ est l'image de $M$ par la \emphref{translation de vecteur} $\vec{AB}$. On dit aussi que $\vec{MM'}$ et $\vec{AB}$ sont deux \emphref{vecteurs égaux} et on note $\vec{AB}=\vec{MM'}$. On notera aussi $\vec{u}$ tout vecteur tel que $\vec{u}=\vec{AB}=\vec{MM'}$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{vecteursDefinitionVecteur.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A'B'}$ sont donc égaux si et seulement si les trois conditions suivantes sont vraies :
\begin{itemize}
 \nouvitem les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles : on dit qu'elles ont la même \emphref{direction} ;
\nouvitem le \emphref{sens} de $A$ vers $B$ est le même que de $A'$ vers $B'$ ;
\nouvitem les segments $[AB]$ et $[A'B']$ ont même longueur : on dit qu'ils ont la même \emphref{norme}.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $A$ et $B$ deux points du plan. On appelle :
\begin{itemize} 
 \nouvitem \emphref{vecteur opposé} au vecteur $\vec{AB}$ le vecteur $\vec{BA}$. On note $-\vec{AB}=\vec{BA}$.
\nouvitem \emphref{vecteur nul}, le vecteur $\vec{AA}$ ou $\vec{BB}$. On note $\vec{AA}=\vec{BB}=\vec{0}$.
\end{itemize}

\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $A$, $B$ et $M$ trois points. $M$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM}=\vec{MB}$.
\end{encadrer}


\section{Coordonnées de vecteurs}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $(O;I;J)$ un repère du plan.
\begin{itemize}
\nouvitem On considère les vecteurs $\vec{i}=\vec{OI}$ et $\vec{j}=\vec{OJ}$. Le repère $(O;I;J)$ est aussi noté $(O;\vec{i};\vec{j})$.
\nouvitem Soit $\vec{u}$ un vecteurs. On appelle \emphref{coordonnées du vecteur} $\vec{u}$ dans le repère $(O ;I ;J)$, les coordonnées de l'unique point $M$ tel que $\vec{OM}=\vec{u}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{vecteurscoordonneesimg2nde.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Sur la figure ci-dessus, $A$ a pour coordonnées $(1 ; 3)$ et $B$ a pour coordonnées $(5 ; 5)$. Les coordonnées du point $M$ tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$ sont $(4 ; 2)$. Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont donc $(4;2)$
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Les coordonnées de vecteurs peuvent être notées verticalement : $\vec{u}(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$ s'écrit ainsi aussi $\coordvec{x_{\vec{u}}}{y_{\vec{u}}}$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un repère.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Soient $A$ et $B$ deux points tels que $\vec{AB}=\vec{u}$ et $C$ et $D$ deux points tels que $\vec{CD}=\vec{v}$. Soit $M$ le point tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$ et $N$ le point tel que $\vec{ON}=\vec{CD}$. Alors $\vec{u}=\vec{v}$ si et seulement si $\vec{AB}=\vec{CD}$ c'est à dire $\vec{OM}=\vec{ON}=\vec{AB}$ c'est à dire encore $M$ et $N$ sont confondus ce qui signifie qu(ils ont les mêmes coordonnées dans le repère $(O ; I ; J)$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux points de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. Alors les coordonnées de $\vec{AB}$ sont : $$(x_B-x_A;y_B-y_A)$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem [Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant les coordonnées des extrémités]\\
Soient $E$ et $F$ les points de coordonnées respectives $(-1 ;3)$ et $(6 ; -3)$ dans un repère.\\
On a $x_{\vec{EF}}=x_F-x_E=6-(-1)=7$\\
$y_{\vec{EF}}=y_F-y_E=-3-3=-6$\\
D'où $\vec{EF}(7;-6)$
\nouvitem [Calcul de coordonnées de points vérifiant une égalité vectorielle]\\
 Soient $A$, $B$ et $C$ les points de coordonnées respectives $(-2;3)$, $(2;1)$ et $(1;4)$ dans un repère du plan.\\
Cherchons les coordonnées du point $D$ tel que $\vec{BA}=\vec{CD}$
Or $\vec{BA}$ a pour coordonnées $(x_A-x_B;y_A-y_B)$ c'est à dire $((-2)-2;3-1)$ donc $(-4;2)$.\\
Le vecteur $\vec{CD}$ a lui pour coordonnées $(x_D-1;y_D-4)$.\\
Les deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales\\
c'est à dire $-4=x_D-1$ et $2=y_D-4$\\
d'où $x_D=-4+1$ et $y_D=4+2$\\
donc $x_D=-3$ et $y_D=6$.\\
$D$ a donc pour coordonnées $(-3;6)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{vecteurscoordonneesegaliteimg2nde.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
\begin{itemize}
\nouvitem Algorithme de calcul des coordonnées $(x_{AB};y_{AB})$ du vecteur $\vec{AB}$ dont les extrémités $A$ et $B$ ont pour coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :
\begin{algorithm}
\Entree{$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$;}
\Traitement{
Affecter à $x_{AB}$ la valeur $x_B-x_A$ ;\\
Affecter à $y_{AB}$ la valeur $y_B-y_A$ ;\\}
\Sortie{$x_{AB}$, $y_{AB}$.}
\end{algorithm}
\nouvitem Algorithme de test de l'égalité de deux vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ dont les coordonnées $(x_1,y_1)$ et $(x_2 ;y_2)$ sont données :
\begin{algorithm}
\Entree{$x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ ;}
\Traitement{
\eSi {($x_1=x_2$) et ($y_1=y_2$)}{
\Retour{vecteurs égaux};
}
{\Retour{vecteurs pas égaux};}}
\end{algorithm}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Somme de vecteurs}

\subsection{Relation de Chasles}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{BC}$.

La \emphref{somme des vecteurs} $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+\vec{v}$, est le vecteur $\vec{AC}$ résultant de l'enchaînement des translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété (relation de CHASLES)}
Pour tous les points $A$, $B$ et $C$ on a donc $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{vecteurscours2ndefig1.png}
\end{center}


\subsection{Différence de deux vecteurs}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs. On appelle \emphref{différence} du vecteur $\vec{u}$ par le vecteur $\vec{v}$ le vecteur noté $\vec{u}-\vec{v}$ égale à $\vec{u}+(-\vec{v})$.
\end{encadrer}
 
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{vecteursdifferencedefinitionimg2nde.png}
\end{center}


\subsection{Coordonnées de sommes de vecteurs}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de coordonnées $(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$ et $(x_{\vec{v}};y_{\vec{v}})$.
\begin{itemize}
\nouvitem $-\vec{u}$ a pour coordonnées $(-x_{\vec{u}};-y_{\vec{v}})$ 
\item[$\bullet$] $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $(x_{\vec{u}}+x_{\vec{v}};y_{\vec{u}}+y_{\vec{v}})$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
\nouvitem soient $A$ et $B$ sont deux points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$. Les coordonnées de $\vec{u}$ sont donc $(x_B-x_A; y_B-y_A)$. Or $\vec{BA}=-\vec{u}$ et a pour coordonnées $( x_A-x_B; y_A-y_B)$ qui sont opposées à celles de $\vec{u}$ ;
\nouvitem Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{BC}$. D'après la relation de Chasles on peut écrire que $\vec{u}+\vec{v}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$. Or les abscisses de $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ sont respectivement $x_B-x_A$ et $x_C-x_B$. Leur somme est $x_B-x_A+x_C-x_B=x_C-x_A$ qui est l'abscisse de $\vec{AC}$. De même pour les ordonnées.
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{vecteurssommecoordonneesimg2nde.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Exemples de calculs sur les coordonnées de sommes}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan de coordonnées respectives $(-3;1)$, $(1,4)$ et $(2;3)$. Alors le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(2;3)$, le vecteur $\vec{BC}$ a pour coordonnées $(3;-1)$. On peut vérifier que $\vec{AC}$ a pour coordonnées $(2+3;3-1)$ soit $(5;2)$.
\nouvitem Soient $A(-3 ;1)$ et $B(1;4)$.\\
On cherche les coordonnées du point M tel que $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}$.\\
$\vec{MA}(x_A-x_M;y_A-y_M)$ donc $\vec{MA}(-3-x_M;1-y_M)$.\\
$\vec{MB}(x_B-x_M;y_B-y_M)$ donc $\vec{MB}(1-x_M;4-y_M)$.\\
D'où $\vec{MA}+\vec{MB}(-3-x_M+1-x_M;1-y_M+4-y_M)$\\
donc $\vec{MA}+\vec{MB}(-2-2x_M;5-2y_M)$.\\
De la contrainte $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}$ on déduit :\\
$-2-2x_M=0$ et $5-2y_M=0$\\
c'est à dire $-2=2x_M$ et $5=2y_M$\\
D'où $x_M=1$ et $y_M=\frac{5}{2}$.\\
D'où $M(-1;\frac{5}{2})$.
\end{itemize} 
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de calcul vectoriel}
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.\\
Alors $\vec{u}=\vec{AB}-\vec{AC}+\vec{BC}=\vec{AB}+\vec{CA}+\vec{BC}$ d'après la définition de vecteurs opposés.\\
D'où $\vec{u}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$\\
Donc $\vec{u}=\vec{AC}+\vec{CA}$ d'après la relation de Chasles\\
et $\vec{u}=\vec{AA}=\vec{0}$ d'après la relation de Chasles à nouveau.
\end{sanscadre}


\end{document}


