Vecteurs, cours, classe de 2nde

I - Notion de vecteur

Propriété et définition :

Soit A et B deux points du plan. A tout point M du plan on associe le point M' tel que ABM'M est un parallélogramme (éventuellement aplati).
On dit que M' est l'image de M par ___ ou encore que M' est l'image de M par ___ On dit aussi que $\vec{MM'}$ et $\vec{AB}$ sont deux vecteurs égaux et on note___
On notera aussi $\vec{u}$ tout vecteur tel que ___.

Remarque :

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A'B'}$ sont donc égaux si et seulement si les trois conditions suivantes sont vraies : ___

Définition :

On considère deux points A et B du plan. On appelle :

vecteur opposé au vecteur $\vec{AB}$ le vecteur ___
$\vec{BA}$. On note $-\vec{AB}=\vec{BA}$ ;
vecteur nul, le vecteur ___
$\vec{AA}$ ou le vecteur $\vec{BB}$. On note $\vec{AA}=\vec{BB}=\vec{0}$.

Propriété :

Soit A, B et M trois points. M est le milieu de [AB] si et seulement si ___

II - Coordonnées de vecteurs

Définition :

Soit (O ; I ; J) un repère du plan.

On considère les vecteurs $\vec{i}=\vec{OI}$ et $\vec{j}=\vec{OJ}$. Le repère $(O ; I ; J)$ est aussi noté $(O;\vec{i};\vec{j})$.
Soit $\vec{u}$ un vecteur. On appelle coordonnées du vecteur dans le repère (O ; I ; J), les coordonnées du ___
point M tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$.

Exemple :

On considère les points A et B de coordonnées respectives (1 ; 3) et (5 ; 5).
Les coordonnées du point M tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$ sont ___

Remarque :

Les coordonnées de vecteurs sont aussi notées verticalement : $\vec{u}(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$ s'écrit ainsi aussi $\left(\begin{array}{c}x_{\vec{u}} \\ y_{\vec{u}} \\\end{array}\right)$.

Propriété :

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux si et seulement si ___

Propriété :

Soient A et B deux points de coordonnées $(x_A ; y_A)$ et $(x_B ; y_B)$ dans un repère (O ; I ; J).
Alors les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont :
___

Exemples :

[Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant les coordonnées des extrémités]
Soient E et F les points de coordonnées respectives (-1 ;3) et (6 ; -3) dans un repère.
___
On a $x_{\vec{EF}}=x_F-x_E=6-(-1)=7$
et $y_{\vec{EF}}=y_F-y_E=-3-3 = -6$
D'où $\vec{EF}(7;-6)$.
[Calculer les coordonnées d'un point vérifiant une égalité vectorielle]
Soient A, B et C les points de coordonnées respectives (-2 ; 3), (2 ; 1) et (1 ; 4) dans un repère du plan. Cherchons les coordonnées du point D tel que $\vec{BA}=\vec{CD}$.
___
$\vec{BA}$ a pour coordonnées $(x_A-x_B;y_A-y_B)$
c'est à dire $\vec{BA}((-2)-2;3-1)$
donc $\vec{BA}(-4 ; 2)$.
De $\vec{BA}=\vec{CD}$ on déduit :

$x_D-x_C=x_{\vec{BA}}$
$x_D=x_C+x_{\vec{BA}}$
$x_D=1+(-4)$
$x_D=-3$

$y_D-y_C=y_{\vec{BA}}$
$y_D =y_C+y_{\vec{BA}}$
$y_D=4+2$
$y_D=6$

Algorithmique :

Algorithme de calcul des coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ dont les extrémités A et B ont pour coordonnées $(x_A,y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :

___

Programmation :

III - Somme de vecteurs

Définition :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et A, B et C trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{BC}$.
La somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+\vec{v}$, est ___

Remarque :

___

Propriété : relation de Chasles

Pour tous les points A, B et C:
___

Définition :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On appelle différence du vecteur $\vec{u}$ par le vecteur $\vec{v}$ ___

Propriété :

Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de coordonnées $(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$ et $(x_{\vec{v}};y_{\vec{v}})$.

$-\vec{u}$ a pour coordonnées ___
$(-x_{\vec{u}};-y_{\vec{u}})$ ;
$\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées ___
$(x_{\vec{u}}+x_{\vec{v}};y_{\vec{u}}+y_{\vec{v}})$.

Preuves :

___

Exemples de calcul sur les coordonnées de sommes :

[Calculer les coordonnées d'une somme de deux vecteurs]
Soient A, B et C trois points du plan de coordonnées respectives (-3 ; 1), (1 ; 4) et (2 ; 3).
Alors le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées (2 ;3) et le vecteur $\vec{BC}$ a pour coordonnées (3 ;-1).
On vérifie que $\vec{AC}$ a pour coordonnées ___
(2 + 3;3 - 1) c'est à dire (5 ; 2).
[Calculer les coordonnées d'un point vérifiant une égalité avec somme de vecteurs]
Soient A (-3 ; 1) et B (1 ; 4). On cherche les coordonnées du point M tel que $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}$.
___
$\vec{MA}(x_A-x_M;y_A-y_M)$ donc $\vec{MA}(-3 - x_M;1 - y_M)$.
$\vec{MB}(x_B-x_M;y_B-y_M)$ donc $\vec{MB}(1-x_M;4-y_M)$.
D'où $\vec{MA}+\vec{MB}(-3-x_M+1-x_M;1-y_M+4-y_M)$
donc $\vec{MA}+\vec{MB}(-2-2x_M;5-2y_M)$
De la contrainte $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}$ on déduit :

$-2 - 2x_M=0$
$-2=2x_M$
$x_M=-1$
$5-2y_M=0$
$5=2y_M$
$y_M=\frac{5}{2}$

D'où $M(-1 ;\frac{5}{2})$

Exemple de calcul vectoriel : [Simplification de l'expression d'un vecteur]

Soient A, B et C trois points du plan. Soit $w=\vec{AB}-\vec{AC}+\vec{BC}$.
___ -

Entrer xA
Entrer yA
Entrer xB
Entrer yB