
\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath} % Polces mathématiques
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} % encodage
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}	% graphiques
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}% polices mathématiques
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}	% hyperliens
\usepackage[table]{xcolor} %couleurs
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.5cm, bottom=1.5cm]{geometry} % mise en page
\setlength\headheight{0.55cm} % distance à l'entête
\usepackage{eurosym} % symbôle euro
\usepackage{fancybox} % boîtes
\usepackage{setspace} % interligne
\usepackage{mathrsfs} % police mathématique cursive


\usepackage{fancyhdr} % entête amélioré
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\usepackage[french,lined,boxed]{algorithm2e}	% pour les algorithmes
%\ configuration package algorithm
\SetKw{Retour}{Afficher}
\SetKwBlock{Traitement}{Début traitement}{Fin traitement.}
\SetKw{Afficher}{Afficher}

% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{16cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}}

\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]} %nouvelle puce à l'américaine
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}\par} % boîtes de propriétés

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}} 

\title{Produit d'un vecteur par un réel, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}

\begin{document}


\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Produit d'un vecteur par un réel, cours, classe de 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}





\begin{center}
 {\LARGE \textbf{Produit d'un vecteur par un réel, cours de seconde}}
\end{center}

\section{Produit d'un vecteur par un nombre réel}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. Soit $\vec{u}$ un vecteur de coordonnées $(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$ dans ce repère. Soit $k$ un nombre réel. On appelle \emphref{vecteur produit de $\vec{u}$ par $k$}, le vecteur de coordonnées :
 $$.....$$
 dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem [Calcul de coordonnées de vecteurs] :\\
Soient $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;5)$. Soit $\vec{w}=-6\vec{u}+5\vec{v}$.\\
Alors $-6\vec{u}$ a pour coordonnées ............... et ............... a pour coordonnées ................\\
D'où $\vec{w}$ a pour coordonnées ............. donc ............. .
\nouvitem [Calcul des coordonnées d'un point vérifiant une égalité vectorielle] :\\
Soient $A(3;-5)$ et $B(1;4)$.\\
On considère le point $M$ tel que $4\vec{MA}=5\vec{AB}$.\\
On a $\vec{AB}$............... donc $\vec{AB}$.............. c'est à dire $\vec{AB}$................. .\\
D'où $5\vec{AB}$......... .\\
D'autre part, $\vec{MA}$................... d'où $4\vec{MA}$............................... donc $4\vec{MA}$.................... .\\
On en déduit donc :\\
\begin{tabular}{ll}
\begin{minipage}{5cm}
...........\\
...........\\
.............
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{5cm}
............\\
............\\
...............
\end{minipage}
\end{tabular}
D'où $M$.....
\end{itemize}
\end{sanscadre}




\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $k$, $k'$ deux nombres réels et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize} 
\item[$\bullet$] $k(\vec{u}+\vec{v})=...$
\item[$\bullet$] $k\vec{u}+k'\vec{u}=....$
\item[$\bullet$] $k(k'\vec{u})=...$
\item[$\bullet$] $k(\vec{u}+\vec{v})=....$
\item[$\bullet$] $k\vec{u}=0$ si et seulement si ............ .......... ............... ..........  .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
Soient $(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$  les coordonnées de $\vec{u}$ dans $(O;\vec{i};\vec{j})$.\\
Alors le vecteur $k\vec{u}$ a par définition pour coordonnées .......................,\\
le vecteur $k'\vec{u}$ a pour coordonnées .........................,\\
le vecteur $k\vec{u}+k'\vec{u}$ a donc pour coordonnées ...................................\\
ce qui s'écrit aussi .............................................\\
On reconnaît les coordonnées de $(k+k')\vec{u}$ ce qui démontre la première propriété. Les autres propriétés se démontrent de la même manière. 
 \end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem [Simplification de l'expression d'un vecteur pour placer un point] :\\
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.\\
$3(\vec{u}+2\vec{v})-5\vec{u}+3\vec{v}=$..............\\
$=$..............\\
$=$................\\
\nouvitem [Simplification de l'expression d'un vecteur pour permettre le placement d'un point] \\
 Soient $A$, $B$ et $C$ trois points et $\vec{u}$ tel que $\vec{u}=3\vec{AC}+3\vec{CB}-\vec{BA}.$\par
Alors :\\
$\vec{u}=$.............\\ 
donc $\vec{u}=$.............\\
d'où $\vec{u}=$.............\\ 
et $\vec{u}=$.............\\
Ceci permet de tracer simplement le vecteur $\vec{u}$.
\nouvitem [Simplification de l'expression d'un vecteur pour permettre le placement d'un point]\\ Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. Soit $M$ le point défini par : $\vec{AM}=3\vec{BC}-2\vec{AC}$.
Exprimons $\vec{AM}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :\\
$\vec{AM}=$...........\\ 
$=$...........\\
$=$..............\\
$=$..............
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Traduction vectorielle de propriétés géométriques}

\subsection{Milieux de segments}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points. $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $\vec{AI}=\vec{IB}$ si et seulement si $\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AB}$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Immédiat
\end{sanscadre}


\subsection{Symétrie centrale et homothétie}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
\begin{itemize}
\nouvitem Si une symétrie centrale transforme $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$, alors $\vec{A'B'}=-\vec{AB}$.
\nouvitem Si une homothétie de rapport $\lambda\in\mathbb{R}-\{0\}$ transforme $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$, alors $\vec{A'B'}=\lambda \vec{AB}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $I$ est le milieu de $[AA']$ et de $[BB']$ donc $\vec{AI}=$.......... et $\vec{BI}=$.........\\
D'où $\vec{A'B'}=\vec{A'I}+\vec{IB'}=$..................\\
Donc $\vec{A'B'}=$.........
\nouvitem Soit $O$ le centre de l'homothétie.\\
$\vec{OA'}=$............... et $\vec{OB'}=$............\\
donc $\vec{A'B'}=$..................\\
$\vec{A'B'}=$..............
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\subsection{Alignement et parallélisme}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Deux vecteurs non nuls sont \emphref{colinéaires} si il existe un réel $k$ non nul tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{vecteurscours2ndefig4.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si ils ont la même direction.
\end{sanscadre}
\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de coordonnées respectives $(5;-3)$ et $(-15; 9)$ dans un repère.\\
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires car $\vec{v}=.........\vec{u}$ ou $\vec{u}=............\vec{v}$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. $A$, $B$ et $C$ sont alignés et distincts si et seulement si il existe un nombre réel $k$ non nul tel que $\vec{AB}=k\vec{AC}$ ;
\item[$\bullet$] Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{vecteurscours2ndefig5.png}
\end{center}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
On suppose $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
[Déterminer si des vecteurs sont colinéaires]\\
Soient $A$ et $B$ les points de coordonnées $(1 ; 3)$ et $(2 ; 1)$ dans un repère. Soit $\vec{v}$ le vecteur de coordonnées $(4;3)$. $\vec{AB}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?\\
$\vec{AB}$ a pour coordonnées ............... donc $\vec{AB}$........ .\\
On a $\frac{x_{\vec{AB}}}{x_{\vec{v}}}=$.............\\
et $\frac{y_{\vec{AB}}}{y_{\vec{v}}}=$.............\\
donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
\end{sanscadre}





\end{document}

