Produit d'un vecteur par un réel, cours, classe de 2nde
I - Produit d'un vecteur par un réel
Définition :
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. Soit $\vec{u}$ un vecteur de coordonnées (x ; y) dans ce repère.
Soit k un nombre réel. On appelle vecteur produit de $\vec{u}$ par k, le vecteur de coordonnées ___ (kx ; ky) dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.
Exemples :
- [Calcul de coordonnées de vecteurs] :
Soient $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;5)$. Soit $\vec{w}=-6\vec{u}+5\vec{v}$.
Alors $-6\vec{u}$ a pour coordonnées ___ (-12 ; -18)
et $5\vec{v}$ a pour coordonnées ___ (20 ; 25).
D'où ___ $\vec{w}(-12+20;-18+25)$ donc $\vec{w}(8;7)$.
- [Calcul des coordonnées d'un point vérifiant une égalité vectorielle] :
Soient $A(3;-5)$ et $B(1;4)$.
On considère le point M tel que $4\vec{MA}=5\vec{AB}$.
___
On a d'une part $\vec{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ donc $\vec{AB}(1-3;4-(-5))$ c'est à dire $\vec{AB}(-2;9)$.
D'où $5\vec{AB}(-10;45)$.
___ D'autre part, $\vec{MA}(3-x_M;-5-y_M)$ d'où $4\vec{MA}(4(3-x_M);4(-5-y_M))$ donc $4\vec{MA}(12-4x_M;-20-4y_M)$.
___ On en déduit donc :
| $12-4x=-10$ | | $-20-4y_M=45$ |
| $-4x=-22$ | | $-4y_M=65$ |
| $x_M=\frac{22}{4}$ | | $y_M=\frac{-65}{4}$ |
Soient k et k' deux nombres réels et $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
Preuve :
___
Soient (x ; y) les coordonnées de $\vec{u}$ dans $(O;\vec{i};\vec{j})$.
Alors le vecteur $k\vec{u}$ a par définition pour coordonnées (kx ; ky).
Le vecteur $k'\vec{u}$ a pour coordonnées (k'x ; k'y).
Le vecteur $k\vec{u}+k'\vec{u}$ a donc pour coordonnées (kx + k'x ; ky + k'y) ce qui s'écrit aussi ((k+k')x ; (k+k')y).
On reconnaît les coordonnées de $(k+k')\vec{u}$ ce qui démontre la première prtopriété.
Les autres propriétés se démontrent de la même manière.
Exemples :
- [Simplification de l'expression d'un vecteur pour placer un point :]
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et soit $\vec{w}=3(\vec{u}+2\vec{v})-5\vec{u}+3\vec{v}$.
___ Alors $\vec{w}=3\vec{u}+6\vec{v}-5\vec{u}+3\vec{v}=3\vec{u}+6\vec{v}-5\vec{u}+3\vec{v}=-2\vec{u}+9\vec{v}$
- [Placement d'un point vérifiant une égalité vectorielle :]
Soient A, B et C trois points. Soit M le point défini par $\vec{AM}=3\vec{BC}-2\vec{AC}$.
Exprimons $\vec{AM}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
___ $\vec{AM}=3(\vec{BA}+\vec{AC})-2\vec{AC}=3\vec{BA}+3\vec{AC}-2\vec{AC}=3\vec{BA}+\vec{AC}=-3\vec{AB}+\vec{AC}$
II - Traduction vectorielle de propriétés géométriques
Milieux de segments
Propriété :
Soient A, B et I trois points. I est le milieu du segment [AB] si et seulement si ___ $\vec{AI}=\vec{IB}$ si et seulement si $\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AB}$.
Symétrie centrale et homothétie
Soient A et B deux points du plan.
- Si une symétrie centrale transforme A en A' et B en B', ___
$\vec{A'B'}=-\vec{AB}$ ;
- Si une homothétie de rapport $\lambda$ réel non nul transforme A en A' et B en B', ___
$\vec{A'B'}=\vec{AB}$
Preuve :
- ___
I est le milieu de [AA'] et de [BB'] donc $\vec{AI}=\vec{IA'}$ et $\vec{BI}=\vec{IB'}$.
D'où $\vec{A'B'}=\vec{A'I}+\vec{IB'}=\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{BI}+\vec{IA}=\vec{BA}$
Donc $\vec{A'B'}=-\vec{AB}$.
- ___
Soit O le centre de l'homothétie.
$\vec{OA'}=\lambda \vec{OA}$ et $\vec{OB'}=\lambda \vec{OB}$
donc $\vec{A'B'}=\vec{A'O}+\vec{OB'}=\lambda \vec{AO}+\lambda \vec{OB}=\lambda (\vec{AO}+\vec{OB})=\lambda \vec{AB}$
Alignement et parallélisme
Définition
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si ___ il existe un réel k non nul tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.
Remarque :
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'ils ont ___ la même direction.
Exemple : [Déterminer si deux vecteurs de coordonnées données sont colinéaires]
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de coordonnées respectives (5 ; -3) et (-15 ; 9) dans un repère.
___ $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéraires car $\vec{v}=-3\vec{u}$ ou $\vec{u}=-\frac{1}{3}\vec{v}$.
Propriétés
On suppose $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si ___ les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles.
Exemple : [Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires ]
Soient A et B les points de coordonnées (1 ; 3) et (2 ; 1) dans un repère. Soit $\vec{v}$ le vecteur de coordonnées (4 ; 3).
$\vec{AB}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?
___ $\vec{AB}$ a pour coordonnées (1 ; -2).
On a $\frac{x_{\vec{AB}}}{x_{\vec{v}}}=\frac{1}{4}$ et $\frac{y_{\vec{AB}}}{y_{\vec{v}}}=\frac{-2}{3}$ donc il n'y a pas proportionnalité et les vecteurs ne sont pas colinéaires.