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\title{Variations de fonctions, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Variations de fonctions - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Fondamentaux sur les fonctions}
\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Une \emphref{fonction} est un procédé qui permet d'associer à tout nombre $x$, élément d'un ensemble $E$  \og{} de départ\fg{} , un nombre unique noté $f(x)$.
\item[$\bullet$] L'ensemble $E$ est \emphref{l'ensemble de définition} de la fonction $f$.
\item[$\bullet$] Le nombre $f(x)$ est appelé \emphref{l'image} du nombre $x$ par la fonction $f$.
\item[$\bullet$] Le nombre $x$ est appelé \emphref{l'antécédent} du nombre $f(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2-8x+32$.\\
On a $g(-5)=(-5)^2-8\times (-5)+32=25+40+32=97$\\
$-5$ a donc pour image $97$ par la fonction $g$ ce qui signifie aussi que $-5$ est un antécédent de $97$ par la fonction $g$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de calcul de l'image d'un nombre par une fonction :
\begin{algorithm}
\Entree{$x$, $f$}
\Traitement{
$fx$ prend la valeur $f(x)$;}
\Sortie{$fx$}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Tableaux de valeurs :}
Pour présenter des nombres et leurs images par une fonction, on utilise un \emphref{tableau de valeurs}.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple :}
Par exemple pour la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2-8x+32$ :
\end{sanscadre}
\begin{center}
\rowcolors{1}{}{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
$g(x)$ & 32 & 25 & 20 & 17 & 16 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
La construction du tableau de valeurs d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle entre deux réels $a$ et $b$ avec un pas de $h$ se traduit par l'algorithme suivant :
\begin{algorithm}
\Entree{$a$,$b$,$h$,$f$}
\Traitement{
Affecter à $x$ la valeur de $a$ ;\\
\Tq{$x\leq b$}{ 
$fx$ prend la valeur de $f(x)$ ;\\
Afficher $x$ et $fx$ ;\\
Affecter à $x$ la valeur de $x+h$ ;\\
}}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de programmation (langage python)}
Construction du tableau de valeurs de la fonction $f:x\mapsto x^2-8x+32$ pour $x$ entre 0 et 8 par pas de 0,1 :\par
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
x=0
while(x<=8):
	fx=x**2-8*x+32
	print(x,"a pour image ",fx)
	x=x+0.1
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}



\section{Intervalles de nombres réels}

\begin{encadrer}{Définition}
 On appelle ensemble des nombres \emphref{réels}, noté $\mathbb{R}$, l'ensemble des abscisses des points de toute droite graduée (par exemple 1, -3, $\sqrt{2}$, $\pi$, etc.) ;
\end{encadrer}


\defref{intervalle}{}
\begin{encadrer}{Définitions}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a$ inférieur strictement à $b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $[a;b]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x\leq b$. On l'appelle \emphref{intervalle fermé} d'extrémités $a$ et $b$.
\item[$\bullet$] $]a;b[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a<x<b$. On l'appelle \emphref{intervalle ouvert} d'extrémités $a$ et $b$.
\item[$\bullet$] $[a;b[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x<b$. Cet intervalle est dit \emph{ouvert} en $b$ et \emph{fermé} en $a$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemples de représentation sur une droite graduée}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|m{2cm}|}
\hline
$]a;b[$ & 
\includegraphics[width=2cm]{ordrecours2ndeimgintervalle2.pdf} \\
\hline
$[a;b]$ & 
\includegraphics[width=2cm]{ordrecours2ndeimgintervalle1.pdf} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\section{Représentation graphique}




\begin{encadrer}{Définition : représentation graphique}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ de $\mathbb{R}$. On appelle \emphref{courbe représentative} ou \emphref{représentation graphique} de  la fonction $f$ l'ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x;f(x))$ dans un repère du plan avec $x$ parcourant l'ensemble de définition $E$ .
\item[$\bullet$] Un point $M$ de coordonnées $(x;y)$ appartient donc à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation $y=f(x)$ appelée \emphref{équation de la courbe représentative} $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2-8x+32$ sur l'intervalle $[0;8]$.
D'après le tableau de valeurs vu plus haut, les points $M_1$, $M_2$, $M_3$ de coordonnées respectives $(0;32)$, $(1;25)$, $(4;16)$ sont des points de la courbe représentative de la fonction $g$.\\
D'où la représentation graphique :
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{fonctionsgeneralitescoursimgrepgraph.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de placement de points appartenant à la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $[a;b]$ par pas de $h$:
\begin{algorithm}
\Entree{$f$, $a$, $b$, $h$}
\Traitement{\Pour{$x$\textbf{ allant de } $a$ \textbf{ à } $b$ \textbf{par pas de $h$} }{
Affecter à $fx$ la valeur de $f(x)$ ;\\
Placer le point de coordonnées $(x;fx)$.}}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$.
\begin{itemize}
\nouvitem L'image $f(x)$ d'un nombre $x$ par $f$ se lit sur l'axe des ordonnées : c'est l'ordonnée du  point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées $(x;0)$ ;
\nouvitem les antécédents s'il y en a de tout nombre $y$ par $f$ se lisent sur l'axe des abscisses : ce sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;y)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Sur la courbe ci-dessus représentant la fonction $g$,
\begin{itemize}
\nouvitem l'image de 1 est 25 ;
\nouvitem 20 a deux antécédents qui sont 2 et 6.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\pdfrowcolors{lightgray}

\section{Croissance, décroissance}


\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite \emphref{croissante} sur l'intervalle $I$ lorsque pour tous $x_1$ et $x_2$ réels appartenant à $I$, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\leq f(x_2)$, c'est à dire que $f$ \emphref{ne change pas} l'ordre des inégalités.
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite \emphref{décroissante} sur l'intervalle $I$ lorsque pour tous $x_1$ et $x_2$ réels appartenant à $I$, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\geq f(x_2)$, c'est à dire que $f$  \emphref{change}  l'ordre des inégalités.

\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite \emphref{monotone} sur l'intervalle $I$ lorsqu'elle est croissante sur $I$, ou lorsqu'elle est décroissante sur $I$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
Fonction croissante & Fonction décroissante \\
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsgeneralitescoursimgfonctioncroissante.png} &
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsgeneralitescoursimgfonctiondecroissante.png}\\
\end{tabular}
\end{center}



\begin{encadrer}{Synthèse}
Pour résumer les variations d'une fonction $f$ on utilise un \emphref{tableau de variations} dans lequel apparaissent les intervalles sur lesquels la fonction est monotone.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère la fonction $g$ précédente. La fonction semble, d'après la représentation graphique, admettre le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\rowcolors{0}{}{}
\begin{tabular}{|c|lcccc|}
\hline
$x$ & 0 & & 4 & & 8 \\
\hline
$f(x)$ & 32 & & & & 32 \\
 & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & &  & 16 & & \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Maximum, minimum}


\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Soit $x_0$ un réel de l'intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ admet un \emphref{maximum} $M$ en $x_0$ sur l'intervalle $I$ lorsque:
	\begin{itemize}
	\item[$\blacktriangleright$] $M=f(x_0)$ ;
	\item[$\blacktriangleright$] pour tout nombre $x$ de $I$ $f(x)\leq M$.
	\end{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ admet un \emphref{minimum} $m$ en $x_0$ sur l'intervalle $I$ lorsque :
	\begin{itemize}
	\item[$\blacktriangleright$] $m=f(x_0)$ ;
	\item[$\blacktriangleright$] pour tout nombre $x$ de $I$ $f(x)\geq m$.
	\end{itemize}
\item[$\bullet$] On dit que la fonction $f$  admet un \emphref{extremum} sur $I$ si elle admet un maximum ou un minimum.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
La fonction $g$ précédente semble admettre 16 comme minimum et 32 comme maximum.
\end{sanscadre}

\end{document}
