Variations de fonctions, cours, classe de 2nde

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I - Notions Fondamentales sur les fonctions

Définition :

Une fonction est un procédé qui ____ permet d'associer à tout nombre x, élément d'un ensemble E de départ, un nombre unique noté f(x).
L'ensemble E est ____l'ensemble de définition de la fonction f.
Le nombre f(x) est appelé ____l'image du nombre x par la fonction f.
Le nombre x est appelé ____antécédent du nombre f(x).

Exemple :[Calcul d'images par une fonction]

Soit g la fonction définie pour tout réel x par $g(x)=x^2-8x+32$.
Calcul de $g(-5)$ :
____$g(-5)=(-5)^2-8\times(-5)+32=25+40+32=97$.
-5 a donc pour image ____97 par la fonction g ce qui signifie aussi que -5 est un ____antécédent de ____97 par la fonction g.

Algorithmique :

Algorithme de calcul de l'image d'un nombre par une fonction :
______ Entrées : x : nombre réel; f : fonction ;
Début traitement :
y prend la valeur f(x) ;
Fin traitement ;
Sortie : y.

Définition :

Pour présenter des nombres et leurs images par une fonction, on utilise un ____tableau de valeurs.

Exemple : [Construire un tableau de valeurs]

Pour la fonction g définie par $g(x)=x^2-8x+32$ :
_____

`x`	0	1	2	3	4
$g(x)$	32	25	20	17	16

Algorithmique :

Construction du tableau de valeur d'une fonction définie sur l'intervalle [a;b] avec un pas de h :
______ Entrées : a, b, h : nombres réels ; f : fonction
Début traitement :
x prend la valeur a
Tant que $x\leq a$ faire :
y prend la valeur f(x) ;
x prend la valeur x+h ;
Afficher x et y ;
Fin Tant que ;
Fin traitement.

II - Intervalles de nombres réels

Définition :

On appelle ensemble des ____nombres réels, noté ____$\mathbb{R}$, l'ensemble des abscisses des points de toute droite graduée (par exemple 1, -3, $\sqrt{2}$, $\pi$, etc).

Définitions :

Soient a et b deux nombres réels avec a inférieur à b.

[a ; b] est l'ensemble des réels x tels que ____$a\leq x\leq b$. On l'appelle ____intervalle fermé d'extrémités a et b.
]a ; b[ est l'ensemble des réels x tels que ____$a\prec x\prec b$. On l'appelle ____ intervalle ouvert d'extrémités a et b.
[a ; b[ est l'ensemble des réels x tels que _____ $a\leq x\prec b$. Cet intervalle est dit ____ ouvert en b et fermé en a.

III - Représentation graphique

Défintion : courbe représentative

Soit f une fonction définie sur un ensemble E de $\mathbb{R}$.
On appelle courbe représentative de f l'ensemble des points M du plan de coordonnées _____(x ; f(x)) dans un repère du plan avec x parcourant l'ensemble de définition E.
Un point M de coordonnées (x ; y) appartient donc à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient ____ l'équation y = f(x) appelée ____ équation de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction f.

Exemple :

Ci-dessous, la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction g définie par $g(x)=x^2-8x+32$ sur l'intervalle [0 ; 8].

Propriété : lectures graphiques

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction f.

L'image f(x) d'un nombre x par f se lit sur l'axe des _____ ordonnées : c'est ______ l'ordonnée du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées $(x;0)$.
Les antécédents, s'il en existe, de tout nombre y par f se lisent sur l'axe des _____ abscisses : ce sont les ______ abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;y)$.

Exemple :[Lire graphiquement des images et des antécédents]

Sur la courbe ci-dessus représentant la fonction g :

L'image de 1 est ____25;
20 a deux antécédents qui sont ____2 et 6 ;

IV - Croissance, décroissance, monotonie

Définition : croissance, décroissance, monotonie

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

La fonction f est dite ____ croissante sur l'intervalle I lorsque pour tous les réels $x_1$ et $x_2$ appartenant à I, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\leq f(x_2)$ ;
c'est à dire que f ____ ne change pas le sens des inégalités.
La fonction f est dite ____ décroissante sur l'intervalle I lorsque pour tous les réels $x_1$ et $x_2$ appartenant à I, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\geq f(x_2)$ ;
c'est à dire que f ____ change le sens des inégalités.
La fonction f est dite ____ monotone sur l'intervalle I si elle est croissante sur (tout) l'intervalle I ou si elle est décroissante sur (tout) l'intervalle I.

Synthèse :

Pour résumer les variations d'une fonction f, on utilise un ____ tableau de variations dans lequel apparaissent les intervalles sur lesquels la fonction est monotone.

Exemple :

La fonction g précédente semble admettre d'après la représentation graphique précédente, le tableau de variations suivant : _________

`x`	0		4		8
	32				32
`f(x)`		$\searrow$		$\nearrow$
			16

V - Maximum et minimum

Définition : maximum, minimum

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit $x_0$ un réel de l'intervalle I.

La fonction f admet un maximum M en $x_0$ sur l'intervalle I lorsque :_________
- $M=f(x_0)$ ;
- pour tout réel x de I, $f(x)\leq M$.
La fonction f admet un minimum m en $x_0$ sur l'intervalle I lorsque : _________
- $m=f(x_0)$ ;
- pour tout réel x de I, $f(x)\geq M$.
On dit que la fonction f admet un extremum sur I si elle admet un maximum sur I ou si elle admet un maximum sur I.

Exemple :

La fonction g précédente semble admettre :

un minimum _________ m = 16 en $x_0$=4 ;
un maximum _________ M = 32 atteint en 0 et en 8.