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\title{Trigonométrie, cours pour la classe de seconde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Trigonométrie, cours pour la classe de seconde}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
{\LARGE Trigonométrie, classe de seconde}
\end{center}

\section{Tangente à un cercle}
\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $\mathcal{C}$ un cercle et $A$ un point du cercle. On dit qu'une droite $(d)$ est \emphref{tangente} à ce cercle au point $A$ si la droite $d$ est perpendiculaire au cercle au point $A$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{tangenteCercleFig.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
La tangente $(d)$ à un cercle $\mathcal{C}$ en un point $A$ du cercle admet $A$ pour unique point d'intersection avec le cercle.
\end{encadrer}



\section{Cercle trigonométrique}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $(O ; \vec{i};\vec{j})$ un repère orthonormal du plan. On appelle \emphref{cercle trigonométrique} tout cercle dont le rayon est égal à l'unité de longueur et de centre l'origine O du repère. Le sens de parcours du cercle trigonométrique appelé \emphref{sens direct} est le sens inverse des aiguilles d'une montre 
\end{encadrer}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{fonctionstrigocours2ndefig3.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
Dans un repère orthonormal $(O;\vec{OI};\vec{OJ})$, on considère le cercle trigonométrique de centre O et la droite $(d)$ tangente en $I$ à la droite $(OI)$. On considère sur cette droite un repère $(I;\vec{IK})$ tel que $IK=1$.

\'A tout nombre réel $x$ on fait correspondre le point $N$ d'abscisse $x$ dans le repère $(I;\vec{IK})$ de $\mathcal{D}$. Par enroulement de la droite $\mathcal{D}$ autour du cercle $\mathcal{C}$, on obtient un point $M$ unique du cercle trigonométrique tel que la distance à zéro de $x$ soit égale à la longueur de l'arc $IM$.

\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
 $x=\frac{\pi}{2}$ donne le point $M$ tel que $\widehat{IOM}=90^{\circ}$.\\
$x=\frac{\pi}{3}$ donne le point $M$ tel que $\widehat{IOM}=60^{\circ}$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 $x$ et $y$ sont deux réels donnant le même point $M$ sur le cercle trigonométrique si et seulement si $y=x+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Cosinus et sinus d'un nombre réel}

\subsection{Définitions}

Dans un repère orthonormal $(O;\vec{OI};\vec{OJ})$, on considère le cercle trigonométrique de centre O et la droite $\mathcal{D}$ tangente en $I$ à la droite $(OI)$.

A tout nombre réel $x$ on fait correspondre le point $N$ d'abscisse $x$ dans un repère $(I;\vec{IK})$ de $\mathcal{D}$. Par enroulement de la droite $\mathcal{D}$ autour du cercle $\mathcal{C}$, on obtient un point $M$ unique du cercle trigonométrique tel que la distance à zéro de $x$ soit égale à la longueur de l'arc $IM$.



\begin{encadrer}{Définition}
Soit un cercle trigonométrique dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormal. On considère un nombre réel $x$.
\begin{itemize}
\nouvitem on appelle \emphref{cosinus} de $x$ et on note $\cos x$, \emph{l'abscisse} du point $M$ associé à $x$ par le procédé décrit précédemment.
\nouvitem On appelle \emphref{sinus} de $x$ et on note $\sin x$, \emph{l'ordonnée} du point $M$ associé à $x$ par le procédé décrit.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Soit $x$ un réel et $M$ le point qui lui est associé sur le cercle trigonométrique. Alors $\cos (x)=\cos (\widehat{IOM})$ et $\sin ($x$)=\sin (\widehat{IOM})$.
\end{sanscadre}


\subsection{Propriétés}

\begin{sanscadre}{Valeurs remarquables}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Angle en degrés & réel associé & cosinus & sinus\\
\hline
$0$ &  $0$ & $1$ & $0$ \\
\hline
$30$  & $\frac{\pi}{6}$& $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ \\
\hline
$45$ & $\frac{\pi}{4}$ &$\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ \\
\hline
$60$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \\
\hline
$90$ & $\frac{\pi}{2}$ & $0$ & $1$ \\
\hline
$180$ &$\pi$ &  $-1$ & $0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tout nombre $x$,
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $(\cos{(x)})^2+(\sin{(x)})^2=1$ ;
\item[$\bullet$] $-1 \leq \cos{(x)} \leq 1$ et $-1 \leq \sin{(x)} \leq 1$ ;
\item[$\bullet$] $\cos{(-x)}=\cos{(x)}$ et $\sin{(-x)}=-\sin{(x)}$ ;
\item[$\bullet$] $\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)}$ et $\sin{(x+2\pi)}=\sin{(x)}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\end{document}
