
\documentclass[12pt]{article}

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\title{Statistiques, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Statistiques, cours, classe de 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Vocabulaire et notations}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définitions et notations}
On considère une série statistique.
\begin{itemize}
\nouvitem Si la série statistique comporte $p$ valeurs distinctes avec $p\in\mathbb{N}$(c'est à dire $p$ entier naturel) , les valeurs du caractère étudiées sont notées $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de 1 à $p$. Le nombre d'individus pour la valeur $x_i$, c'est à dire l'effectif pour la valeur $x_i$ est noté $n_i$.
\nouvitem Si la série est regroupée en $p$ classes $[a_i;a_{i+1}[$ pour $i$ allant de 1 à $p$, où $a_i$  sont des réels tels que $a_i<a_{i+1}$, on prend pour valeurs les centres des classes $c_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$ pour $i$ allant de 1 à $p$.
\nouvitem L'effectif total $N$ est alors égal à $N=n_1+n_2+...+n_p$ ce que l'on note aussi $\sum_{i=1}^{i=p}n_i=N$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On étudie la hauteur de jeunes plants de riz lors d'une expérience sur une nouvelle variété. La population est alors l'ensemble des plants de riz. Un individu est donc un plant de riz. Le caractère étudié est la hauteur des plants. C'est un caractère quantitatif, c'est à dire un nombre réel. 
Les valeurs distinctes du caractère $x_i$ sont les différentes hauteurs relevées. Il peut, par exemple y avoir une hauteur $x_1=8$ cm pour un effectif de $n_1=2$ plants qui ont cette hauteur. L'effectif total N est le nombre total de plants de riz.
On peut regrouper les valeurs en classes, par exemple, la classe des plants qui ont une hauteur dans l'intervalle $[20 ; 25[$ en cm. Le centre de l'intervalle est alors $c_1=\frac{20+25}{2}=22,5$.
\end{sanscadre}



\section{Fréquences, séries cumulées}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{fréquence} $f_i$ de la série pour la valeur $x_i$ le nombre réel défini par 
$$f_i=\frac{n_i}{N}$$
qui s'exprime aussi en pourcentage en multipliant par 100.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Dans l'exemple des plants de riz, s'il y a 3 plants de taille 18 cm parmi un effectif total de 28 plants, la fréquence pour la valeur $x_i=18$ est  $f_i=\frac{3}{28}\approx 0,107$ soit environ 10,3\% de plants de hauteur 18 cm.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \emphref{effectif cumulé croissant (ECC)} pour la valeur $x_i$, la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à $x_i$ ;
\item[$\bullet$] \emphref{fréquence cumulée croissante (FCC)} pour la valeur $x_i$, la somme des fréquences des valeurs inférieures ou égales à $x_i$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
On a relevé la hauteur de plants de riz d'une nouvelle variété lors d'une expérimentation :\par 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Hauteur en cm ($x_i$)&8&12&14&16&17&18&19&20&21&22\\
\hline
Nombre de plans ($n_i$)&2&2&4&2&2&3&3&4&4&2\\
\hline
Fréquences ($f_i$)&$\frac{2}{28}\approx 0,0714$&0,0714&0,1429&0,0714&0,0714&0,1071&0,1071&0,1429&0,1429&0,071\\
\hline
Effectifs cumulés croissants&2&4&8&10&12&15&18&22&26&28\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\section{Caractéristiques d'une série statistique}


\subsection{Moyenne}
 

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $x_i$ les $p$ valeurs distinctes d'une série statistique et $n_i$ les effectifs pour chaque valeur. La \emphref{moyenne} pondérée, notée $\bar{x}$, est donnée par :
$$\bar{x}=\frac{n_1x_1+n2x_2+...+n_px_p}{n_1+n_2+...+n_p}$$
\noindent ce qui s'écrit aussi $\bar{x}=\frac{\Sigma_{i=1}^{i=p}n_ix_i}{\Sigma_{i=1}^{i=p}n_i}$
\nouvitem Dans le cas d'une série où les effectifs des  $p$ valeurs $x_i$ sont égaux à 1 (on parlera alors par abus de langage de série "sans effectif") la moyenne non pondérée est donc :
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+....+x_p}{p}$$
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}

Dans l'exemple des hauteurs de plants de riz, la moyenne est :\\
$\bar{x}=\frac{2\times 8+2 \times 12+...4 \times 21+2\times 22}{2+2+...+4+4+2}\approx 17,2$ cm

\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
On considère la \emphref{distribution des fréquences} d'une série statistique c'est à dire l'ensemble des fréquences des valeurs de la série :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|c|c|c}
$x_1$ & $x_2$ & $\ldots$ & $x_p$\\
\hline
$f_1$ & $f_2$ & $\ldots$ & $f_p$\\
\end{tabular}
\end{center}
Alors, la moyenne de la série statistique est donnée par :
$$\bar{x}=f_1x_1+f_2x_2+...+f_px_p$$
\end{encadrer}
}

 
\begin{sanscadre}{Preuve}

On a :\par
$\bar{x}=\frac{n_1x_1}{N}+\frac{n_2x_2}{N}+...+\frac{n_px_p}{N}=\frac{n_1}{N}x_1+\frac{n_2}{N}x_2+...+\frac{n_p}{N}{x_p}$\par
On obtient le résultat en remplaçant $\frac{n_i}{N}$ par $f_i$ pour tout $i$ allant de 1 à $p$.

\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple}

Dans l'exemple précédent, on a :\par
$f_1x_1+f_2x_2+\ldots+f_px_p \approx 17,2$\par

\end{sanscadre}



\subsection{étendue}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\emphref{L'étendue} d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Dans l'exemple précédent l'étendue est  l'étendue est $22-8=14$ cm.
\end{sanscadre}

\newpage

\subsection{Médiane}


\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
La \emphref{médiane} est une valeur du caractère qui sépare la série statistique \emphref{ordonnée} en deux sous séries de même effectif.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Méthode de détermination}

\begin{itemize}
\nouvitem Dans le cas d'un caractère discret d'effectif total $N$ impair, la médiane est la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$;
\nouvitem dans le cas d'un caractère discret d'effectif total $N$ pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rang $\frac{N}{2}$ et de rang $\frac{N}{2}+1$.
\end{itemize}

\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Série avec \emphref{effectifs égaux à 1} et effectif total pair : soit la série statistique dont les données sont :\\ 2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9.\par
\noindent L'effectif total est $N=8$. Il est pair donc la médiane est la demi-somme entre les valeurs de rang 4 et 5.\par
\noindent La médiane est donc $\frac{5+7}{2}=6$.

\nouvitem Série avec \emphref{effectifs non tous égaux à 1} : on reprend l'exemple des hauteurs de plants de riz. On obtient le tableau \emphref{d'effectifs} suivant :\par
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Hauteur en cm ($x_i$)&8&12&14&16&17&18&19&20&21&22\\
\hline
Nombre de plans ($n_i$)&2&2&4&2&2&3&3&4&4&2\\
\hline
Effectifs cumulés croissants&2&4&8&10&12&15&18&22&26&28\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Il y a 9 valeurs distinctes mais 28 données au total. L'effectif total est donc N = 28.\\
N est pair. La médiane est donc la demi-somme entre les valeurs de rang 14 et 15.\\
D'après le tableau des effectifs cumulés, les valeurs de rang 14 et 15 sont 18 et 18 donc la médiane est $\frac{18+18}{2}=18$ cm.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage

\subsection{Quartiles}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Le premier quartile noté $Q_1$  de la série statistique est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 \% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales;
\nouvitem le troisième quartile noté $Q_3$ de la série statistique est la plus petite valeur telle qu'au moins 75 \% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Détermination pratique}
On suppose la série ordonnée dans l'ordre croissant des valeurs du caractère. Soit $N$ l'effectif total.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\frac{N}{4}$ est un entier alors $Q_1$ est la valeur de rang $\frac{N}{4}$ et $Q_3$ est la valeur de rang $\frac{3N}{4}$ ;
\nouvitem si $\frac{N}{4}$ n'est pas un entier, alors $Q_1$ est la valeur dont le rang suit le rang $\frac{N}{4}$ et $Q_3$ est la valeur dont le rang suit le rang $\frac{3N}{4}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Hauteur en cm ($x_i$)&8&12&14&16&17&18&19&20&21&22\\
\hline
Nombre de plans ($n_i$)&2&2&4&2&2&3&3&4&4&2\\
\hline
Effectifs cumulés croissants&2&4&8&10&12&15&18&22&26&28\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
L'effectif total $N$ est 28.\\
$\frac{N}{4}$ = 7 donc le premier quartile est la valeur de rang 7 c'est à dire $Q_1$ = 14 cm.\\
$\frac{3N}{4}$ = 21 donc le troisième quartile est la valeur de rang 21 c'est à dire $Q_3$ = 20 cm.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{écart inter-quartiles} la différence $Q_3-Q1$ ;
\nouvitem \emphref{intervalle inter-quartiles} l'intervalle $[Q_1;Q_3]$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Visualisation}
On peut visulaiser la répartition des valeurs en pourcentages de la série sur une droite graduée :
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{statistiquesCoursRepartitionQuartiles2nde.png}
\end{center}
\end{sanscadre}

\section{Représentations graphiques}

\subsection{Diagramme en barres ou en bâtons, nuage de points}
Il permettent de représenter les valeurs et les effectifs d'une série statistique avec effectifs :
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}

\includegraphics[width=8cm]{statistiquesCoursDiagrammesBarres2nde.png}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}

\includegraphics[width=8cm]{statistiquesCoursNuagePoints2nde.png}

\end{minipage}
\end{tabular}


\subsection{Polygone des effectifs cumulés croissants}
Il permet de représenter les effectifs cumulés et donc de déterminer graphiquement la médiane et les quartiles de la série.
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{statistiquesCoursPolygoneEffectifsCumules2nde.png}
\end{center}





\end{document}
