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\title{Résolutions graphiques et signes de fonctions, cours, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Résolutions graphiques et signes de fonctions, cours, classe de 2nde}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage



\section{Résolution graphique d'équations}
 \pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère.
Les \emphref{solutions de l'équation} $f(x)=k$ sont les \emphref{abscisses} des points d'intersection de la courbe avec la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;k)$.

\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Sur la figure ci-dessous, est représentée une fonction $f$ :

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{resolutionsGraphiquesEquationsImg.png}
\end{center}
Les solutions de l'équation $f(x)=0,5$ sont environ -1 ; -0,5 et 4,5.
\end{sanscadre}

\section{Résolutions graphiques d'inéquations}

\subsection{Compléments sur les intervalles}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définitions}
Soit $b$ un nombre réel..
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $[b;+\infty[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $x\geq b$.
\item[$\bullet$] $]-\infty ;b[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $x<b$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|m{2cm}|}
\hline
$]-\infty;b[$ & \includegraphics[width=2cm]{ordrecours2ndeimgintervalle3.pdf}
 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $I$ et $J$ deux intervalles.
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{L'intersection} de $I$ et $J$ notée $I\cap J$ est l'ensemble des nombres qui  appartiennent à la fois à $I$ \emphref{et} à $J$.
\nouvitem \emphref{La réunion} de $I$ et $J$ notée $I\cup J$ est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I \emphref{ou} à J, c'est à dire, soit à $I$, soit à $J$, soit aux deux.
\nouvitem Lorsque les intervalles $I$ et $J$ n'ont aucun point commun, leur intersection est \emphref{l'ensemble vide} noté $\emptyset$. On dit aussi que les intervalles sont \emphref{disjoints}.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{intervallesReunionIntersectionImg.png}
\end{center}
Soit $I=[-5 ; -1]$ et $J=[-2;3]$.\\
L'intersection $I\cap J$ est $[-2 ; -1]$.\\
La réunion $I\cup J$ est $[-5 ; 3]$.
\end{sanscadre}


\subsection{Résolution graphique d'inéquations}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x)\leq k$ (respectivement $f(x) \geq k$) sont les \emphref{abscisses} des points de la courbe situés en dessous (respectivement au dessus) de la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;k)$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Sur la figure ci-contre, est représentée la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 6]$ :

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImg.png}
\end{center}

L'inéquation $f(x)\geq -0,5$ a pour ensemble de solutions $[-2,5;2,5]\cup ]3;6]$ environ.

\end{sanscadre}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur représentation graphique dans un repère. Les \emphref{solutions de l'inéquation} $f(x) \leq g(x)$ sont les \emphref{abscisses} des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés en dessous des points de $\mathcal{C}_g$ de même abscisse.
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{resolutionsGraphiquesInequationsImg2.png}
\end{center}
Ci-dessus, $\mathcal{C}_f$ est la courbe bleue et $\mathcal{C}_g$ est la courbe verte.  L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\leq g(x)$ semble être [-3 ; 1].
\end{sanscadre}


\section{Signe d'une fonction}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{positive} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\geq 0$ ;
\nouvitem \emphref{négative} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\leq 0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}


\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{signesfonctionimg.png}
\end{center}

 Pour visualiser le signe d'une fonction, on utilise un \emphref{tableau de signes} :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
 \hline
$x$& -3 & & -2 & & 1 & & 4 & & 6 \\
\hline 
$f(x)$ & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + &  \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}
\end{sanscadre}


\end{document}
