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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{15cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
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\title{Repérage, cours, classe de 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Repérage, cours, classe de 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Repérage, cours, 2nde}}
\end{center}





\section{Coordonnées dans un repère du plan}



\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
 \nouvitem On appelle ensemble des \emphref{nombres entiers naturels} et on note $\mathbb{N}$, l'ensemble constitué des nombres .................... .............. .
\nouvitem On appelle ensemble des \emphref{nombres entiers relatifs} et on note $\mathbb{Z}$, l'ensemble des nombres ................ .................. .
\nouvitem On appelle ensemble des ............. ................ et on note $\mathbb{R}$ l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{axeGradueFig.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
Un \emphref{repère} du plan est défini par la donnée de trois points non alignés $O$, $I$ et $J$ formant un triangle. On note alors $(O;I;J)$ le repère ainsi défini.\par
Un repère est dit :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{orthogonal} si  $OIJ$ est ....................... .................. ............. ;
\nouvitem \emphref{orthonormal} ou \emphref{orthonormé} si  $OIJ$ est ..................... ................ .................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}

\begin{center}
\begin{tabular}{lr}
 \includegraphics[width=4cm]{reperage2ndecoursrepereorthogonalimg.png}&
\includegraphics[width=4cm]{reperage2ndecoursrepereorthonormeimg.png}
\end{tabular}
\end{center}


\begin{encadrer}{Définition et propriété}
\`A tout point $M$ du plan, on associe un unique couple $(x;y)$ de nombres réels appelé \emphref{couple de coordonnées} du point $M$ dans le repère $(O;I;J)$.\par
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{$x$} est appelé .................. du point $M$ ;
\nouvitem \emphref{$y$} est appelé ................... du point $M$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\begin{tabular}{lr}
\includegraphics[width=4cm]{reperagepointscoordonneesimg2nde.png}
&
\includegraphics[width=5cm]{reperage2ndecoursreperequelconqueimg.png}
\end{tabular}
\end{center}





\section{Milieu d'un segment}

\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ d'un repère $(O;I;J)$. Alors le \emphref{milieu $K$ du segment} $[AB]$ a pour abscisse .............. ......... .............. et pour ordonnée ................. ................... ................... , c'est  à dire, a pour coordonnées :
$$.........$$
et 
$$.........$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $A(5;7)$ et $B(-3;2)$. Alors le milieu $K$ de $[AB]$ a pour coordonnées :\\
$x_K=$....\\
et $y_K=$....
\nouvitem Soient $A(2;-1)$ et $K(4;2)$. Le point $B(x;y)$ tel que $K$ est le milieu de [AB] vérifie :\\ .................. et ....................\\
donc .................. et ................ \\
d'où $x=...$ et $y=.....$ \\
c'est à dire ..........
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}
%
%\begin{center}
% \includegraphics[width=3cm]{reperagemilieucoordonneesimg2nde.png}
%\end{center}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de calcul des coordonnées du milieu du segment $[AB]$ avec $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :\par
\begin{algorithm}
\Entree{$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$}
\Traitement{
Affecter à ........ la valeur ................;\\
Affecter à ........ la valeur .................\\}
\Sortie{$x_K$, $y_K$}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\section{Distance entre deux points}


\subsection{Racine carrée d'un nombre réel positif}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ un réel positif. La \emphref{racine carrée} de $a$ est .................. .................... ........................ ....................... . On le note ........... . On a donc $\sqrt{a}....\geq 0$ et ...................
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $\sqrt{144}=....$ ;
\nouvitem $\sqrt{2}$ n'a pas de valeur décimale. Une valeur décimale approchée est $\sqrt{2}\approx .....$
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $a$ un réel positif. Alors $\sqrt{a^2}=$...... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$a$ est un nombre positif dont le carré vaut $a^2$ donc c'est la racine carrée de $a^2$.
\end{sanscadre}

\subsection{Distance dans un repère orthonormé}

\begin{encadrer}{Propriété}
 On considère deux points $A$ et $B$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ dans un repère $(O;I;J)$ orthonormal. Alors la \emphref{distance $AB$} est donnée par :
$$.......................$$
ce qui s'écrit aussi :
$$.......................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On supposera afin d'alléger les écritures que $x_A<x_B$ et $y_A<y_B$, les autres cas se démontrant de la même manière.
Soit $H$ le point de coordonnées $(x_B;y_A)$. Le repère est orthonormal donc les droites $(AH)$ et $(BH)$ sont perpendiculaires en $H$ et l'unité est la même sur les deux axes. La distance $AH$ vaut $x_B-x_A$ et la distance $BH$ est $y_B-y_A$. Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$, le théorème de PYTHAGORE permet donc d'écrire que $AB^2=AH^2+BH^2$ c'est  à dire $AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$ d'où la formule.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{reperageplancours2ndefig2.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
On considère les points $A(8;-2)$ et $B(-2;5)$. Alors la distance $AB$ est :\\
$AB=...$\\
donc $AB=...$\\
d'où $AB=$....\\
et $AB=$....
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de calcul de la distance entre deux points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :
\begin{algorithm}
\Entree{$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$}
\Traitement{
Affecter à ...... la valeur ................................}
\Sortie{$d$}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\section{Tangente en un point à un cercle}



\begin{encadrer}{Définition}
Soit $\mathcal{C}$ un cercle et $A$ un point du cercle. On dit qu'une droite $(d)$ est \emphref{tangente} à ce cercle au point $A$ si ............... ...................... ............................. ............................. .
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{tangenteCercleFig.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
La tangente $(d)$ à un cercle $\mathcal{C}$ en un point $A$ du cercle admet ................... .................. ........................ ...................... .
\end{encadrer}


\end{document}

