Repérage dans le plan, cours, 2nde

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I - Coordonnées dans un repère du plan

$\mathcal{D}$éfinition :

On appelle ensemble des nombres entiers naturels et on note $\mathbb{N}$,
l'ensemble des nombres 0, 1, 2,...., 10, 11,..., 123,... .
On appelle ensemble des nombre entiers relatifs et on note $\mathbb{Z}$,
l'ensemble des nombres ..., -87,...-3, -2, -1, 0, 1, 2,..., 16,... .
On appelle ensemble des nombres réels et on note $\mathbb{R}$,
l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée.

Définition :

Un repère du plan est défini par la donnée de trois points non alignés O, I et J formant un triangle.
On note alors $(O;I;J)$ le repère ainsi défini.
Un repère est dit :

orthogonal____ si OIJ est un triangle rectangle en O ;
orthonormé (ou orthonormal)____ si OIJ est un triangle rectangle isocèle de sommet principal O ;

Définition et propriété :

A tout point M du plan, on associe un unique couple $(x;y)$ de nombres réels appelés couple de coordonnées du point M dans le repère $(O;I;J)$.

$x$ est appelé ____ abscisse du point M ;
$y$ est appelé ____ ordonnée du point M.

II - Milieu d'un segment

Propriété : milieu d'un segment

Soient A et B deux points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ d'un repère $(O;I;J)$.
Alors le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées :

____

$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}$

et ____

$y_K=\frac{y_A+y_B}{2}$

Exemples :

Soient A (5 ; 7) et B (-3 ; 2). Alors le milieu K de [AB] a pour coordonnées : ____

$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}$ $y_K=\frac{y_A+y_B}{2}$

$x_K=\frac{5+(-3)}{2}$ $y_K=\frac{7+2}{2}$

$x_K=1$ $y_K=\frac{9}{2}$
Soient A (2 ; -1) et K (4 ; 2). Le point B tel que K est le milieu de [AB] vérifie : ____

$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}$ $y_K=\frac{y_A+y_B}{2}$

$4 =\frac{2+x_B}{2}$ $2=\frac{-1+y_B}{2}$

$8=2+x_B$ $4 = -1 + y_B$

$6 =x_B$ $5 = y_B$

Algorithme :

Algorithme de calcul des coordonnées du milieu de [AB] où A et B sont deux points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :

____

Entrées :$x_A$, $y_A$, $x_B$ et $y_B$
Début traitement :
$x_K$ prend la valeur $\frac{x_A+x_B}{2}$
$y_K$ prend la valeur $\frac{y_A+y_B}{2}$
Fin
Sorties :$x_K$, $y_K$

III - Distance entre deux points dans un repère orthonormé

Définition : Racine carrée d'un nombre positif

Soit a un réel positif. On appelle racine carrée de a le nombre réel positif ____dont le carré vaut a. On le note ____$\sqrt{a}$. On a donc ____$\sqrt{a}\geq 0$ et $\sqrt{a}^2=a$.

Exemples :

$\sqrt{144}=12$ ;
$\sqrt{2}$ n'a pas de valeur décimale finie. Une valeur approchée est ____$\sqrt{2}\approx 1,41$.

Propriété :

On a ____$\sqrt{a^2}=a$.

Propriété : distance entre deux points

On considère deux points A et B de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ dans un repère $(O;I;J)$ orthonormé.
Alors la distance AB est donnée par :

____

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

ce qui s'écrit aussi :

$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Exemple :

On considère les points A(8 ; -2) et B(-2 ; 5). Alors la distance AB est :

____

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
$AB=\sqrt{(-2 - 8)^2+(5 - (-2))^2}$
$AB=\sqrt{(-10)^2+7^2}$
$AB=\sqrt{149}$

Algorithme :

Algorithme de calcul de la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :

____

Entrées :$x_A$, $y_A$, $x_B$ et $y_B$
Début traitement :
d prend la valeur $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Fin
Sortie :d

IV - Tangentes à un cercle

Définition :

Soit $\mathcal{C}$ un cercle et A un point du cercle. On dit qu'une droite (d) est tangente à ce cercle au point A ____ si la droite (d) est perpendiculaire au cercle au point A.

Propriété

La tangente (d) à un cercle $\mathcal{C}$ en un point A du cercle admet ____ un unique point d'intersection avec le cercle : le point A.

Entrer xA
Entrer yA
Entrer xB
Entrer yB

Entrer xA
Entrer yA
Entrer xB
Entrer yB

$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}$	$y_K=\frac{y_A+y_B}{2}$
$x_K=\frac{5+(-3)}{2}$	$y_K=\frac{7+2}{2}$
$x_K=1$	$y_K=\frac{9}{2}$

$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}$	$y_K=\frac{y_A+y_B}{2}$
$4 =\frac{2+x_B}{2}$	$2=\frac{-1+y_B}{2}$
$8=2+x_B$	$4 = -1 + y_B$
$6 =x_B$	$5 = y_B$