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\title{Repérage dans le plan, cours pour la classe de seconde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Repérage dans le plan, cours pour la classe de seconde}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Coordonnées dans un repère du plan}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
 \nouvitem On appelle ensemble des \emphref{nombres entiers naturels} et on note $\mathbb{N}$, l'ensemble des nombres 0, 1, 2, ..., 10, 11,... 123,... .
\nouvitem On appelle ensemble des \emphref{nombres entiers relatifs} et on note $\mathbb{Z}$, l'ensemble des nombres ...,-87, .., -3,-2,-1,0,1,2, ...,15,... .
\nouvitem On appelle ensemble des \emphref{nombres réels} et on $\mathbb{R}$ l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{axeGradueFig.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Définition}
Un \emphref{repère} du plan est défini par la donnée de trois points non alignés $O$, $I$ et $J$ formant un triangle. On note alors $(O;I;J)$ le repère ainsi défini.\par
Un repère est dit :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{orthogonal} si  $OIJ$ est un triangle rectangle en O ;
\nouvitem \emphref{orthonormé} ou \emphref{orthonormal} si  $OIJ$ un triangle rectangle isocèle de sommet principal O.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
 \includegraphics[width=4cm]{reperage2ndecoursrepereorthogonalimg.png}&
\includegraphics[width=4cm]{reperage2ndecoursrepereorthonormeimg.png}
\end{tabular}
\end{center}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
\`A tout point $M$ du plan, on associe un unique couple $(x;y)$ de nombres réels appelé \emphref{couple de coordonnées} du point $M$ dans le repère $(O;I;J)$.\par
\begin{itemize}
\nouvitem $x$ est appelé \emphref{abscisse} du point $M$ ;
\nouvitem $y$ est appelé \emphref{ordonnée} du point $M$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}

\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{reperagepointscoordonneesimg2nde.png}\\
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{reperage2ndecoursreperequelconqueimg.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

Repère $(O;I;J)$ quelconque. Le point C a pour coordonnées (2;1). 


\section{Milieu d'un segment et distance dans un repère orthonormé}

\subsection{Milieu d'un segment}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ d'un repère $(O;I;J)$. Alors le \emphref{milieu} $K$ du segment $[AB]$ a pour abscisse la moyenne des deux abscisses et pour ordonnée la moyenne des ordonnées, c'est  à dire, a pour coordonnées :
$$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}$$
et 
$$y_K=\frac{y_A+y_B}{2}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $A(5;7)$ et $B(-3;2)$. Alors le milieu $K$ de $[AB]$ a pour coordonnées :\\
$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{5+(-3)}{2}=1$\\
et $y_K=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{7+2}{2}=\frac{9}{2}$
\nouvitem Soient $A(2;-1)$ et $K(4;2)$. Le point $B(x;y)$ tel que $K$ est le milieu de $[AB]$ vérifie\\ $4=\frac{2+x}{2}$ et $2=\frac{-1+y}{2}$\\
donc $2+x=8$ et $-1+y=4$\\
d'où $x=6$ et $y=4+1$\\
c'est à dire $y=5$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{center}
 \includegraphics[width=4cm]{reperagemilieucoordonneesimg2nde.png}
\end{center}

\newpage


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de calcul des coordonnées du milieu du segment $[AB]$ avec $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :
\begin{algorithm}
\Entree{$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$}
\Traitement{
Affecter à $x_K$ la valeur $\frac{x_A+x_B}{2}$;\\
Affecter à $y_K$ la valeur $\frac{y_A+y_B}{2}$.\\}
\Sortie{$x_K$, $y_K$}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\subsection{Racine carrée d'un nombre réel positif}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ un réel positif. La \emphref{racine carrée} de $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. On le note $\sqrt{a}$. On a donc $\sqrt{a}\geq 0$ et $\sqrt{a}^2=a$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $\sqrt{144}=12$ ;
\nouvitem $\sqrt{2}$ n'a pas de valeur décimale. Une valeur décimale approchée est $\sqrt{2}\approx 1,41$
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $a$ un réel positif. Alors $\sqrt{a^2}=a$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$a$ est un nombre positif dont le carré vaut $a^2$ donc c'est la racine carrée de $a^2$.
\end{sanscadre}


\subsection{Distance entre deux points}

\begin{encadrer}{Propriété}
 On considère deux points $A$ et $B$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ dans un repère $(O;I;J)$ orthonormal. Alors la distance $AB$ est donnée par :
$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
ce qui s'écrit aussi :
$$AB=\sqrt{(y_B-y_A)^2+(x_B-x_A)^2}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On supposera afin d'alléger les écritures que $x_A<x_B$ et $y_A<y_B$, les autres cas se démontrant de la même manière.
Soit $H$ le point de coordonnées $(x_B;y_A)$. Le repère est orthonormal donc les droites $(AH)$ et $(BH)$ sont perpendiculaires en $H$ et l'unité est la même sur les deux axes. La distance $AH$ vaut $x_B-x_A$ et la distance $BH$ est $y_B-y_A$. Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$, le théorème de PYTHAGORE permet donc d'écrire que $AB^2=AH^2+BH^2$ c'est  à dire $AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$ d'où la formule.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{reperageplancours2ndefig2.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère les points $A(8;-2)$ et $B(-2;4)$. Alors la distance $AB$ est :\\
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$\\
donc $AB=\sqrt{(-2-8)^2+(4-(-2))^2}$\\
d'où $AB=\sqrt{(-10)^2+6^2}$\\
et $AB=\sqrt{136}$
donc $AB=2\sqrt{34}$
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de calcul de la distance entre deux points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :
\begin{algorithm}
\Entree{$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$}
\Traitement{
Affecter à $d$ la valeur $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$}
\Sortie{$d$}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Tangente à un cercle}
\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $\mathcal{C}$ un cercle et $A$ un point du cercle. On dit qu'une droite $(d)$ est \emphref{tangente} à ce cercle au point $A$ si la droite $d$ est perpendiculaire au cercle au point $A$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{tangenteCercleFig.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
La tangente $(d)$ à un cercle $\mathcal{C}$ en un point $A$ du cercle admet $A$ pour unique point d'intersection avec le cercle.
\end{encadrer}

\end{document}

