Simulations et probabilités, cours, 2nde

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I - Simulations d'expériences aléatoires

Définitions :

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat, soumis au hasard, n'est pas ____ prévisible.
L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire constitue ____ l'univers des possibles.
Simuler une expérience aléatoire, c'est ____ la remplacer par une autre expérience aléatoire dont les distributions de fréquences qu'elle donnerait pour un grand nombre de tirages seraient proches.

Exemples :

____

Le lancer d'un dé à six faces constitue une expérience aléatoire d'issues $x_i$ pour $i$ allant de 1 à 6 et correspondant à la sortie de la face $i$ du dé. Il y a donc 6 issues ou éventualités possibles.
En supposant qu'il naît autant de garçons que de filles, la naissance d'un garçon ou d'une fille peut être simulée par le lancer d'une pièce, le côté pile représentant la naissance d'un garçon et le côté face la naissance d'une fille.

Propriété :

Soit n un entier naturel. Les séquences de tableur suivantes permettent d'obtenir des nombres entiers naturels au hasard compris entre 0 et $n-1$ afin de simuler une expérience aléatoire comportant $n$ issues possibles :
____ ALEA.ENTRE.BORNES(1,n) ou ENT(ALEA()*n)+1

II - Lois de probabilités

Définition

Pour toute expérience aléatoire d'issues possibles $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ avec $n$ entier naturel, on définit une loi de probabilité en leur associant $n$ nombres réels $p_1$, $p_2$,..., $p_n$ tels que : ____

pour tout $i$ allant de 1 à $n$, $0\leq p_i\leq 1$ ;
$p_1+p_2+...+p_n=1$.

Propriété : loi des grands nombres

Si on répète une expérience aléatoire d'univers $E=\{x_1;x_2;...;x_n\}$, un "grand nombre de fois" et pour une loi de probabilité adaptée à la situation, alors les fréquences de réalisation des issues $x_i$ se stabilisent autour des nombres $p_i$.

Exemple :

On jette un dé 100 fois et on note la face apparue à chaque lancer. Si le 1 apparaît 12 fois, la fréquence de sortie du 1 est ____ $f_1=\frac{12}{100}=0,12$.
On a en outre $f_1+f_2+f_3+f_4+f_5+f_6=1$.
Si le nombre de lancers devient "grand" (voir animation ci-dessous), les fréquences se stabilisent autour de ____ $\frac{1}{6}\approx 0,167$, probabilité d'apparition du 1.

Définition :

On appelle loi de probabilité d'une expérience aléatoire ____ la donnée de l'ensemble des issues possibles $x_i$ et des probabilités $p_i$ de chacune des issues.

____

valeurs $x_i$	$x_1$	$x_2$	...	$x_n$
probabilités $p_i$	$p_1$	$p_2$	...	$p_n$

Exemple : [Déterminer une loi de probabilité]

Une pièce de monnaie est truquée de sorte que la probabilité d'obtenir pile est le double de celle d'obtenir face.
On appelle $p_1$ la probabilité d'obtenir pile et $p_2$ celle d'obtenir face.
____ On a donc $p_1+p_2=1$.
Or $p_1=p_2$ donc $2p_2+p_2=1$ d'où $3p_2=1$ donc $p_2=\frac{1}{3}$ et $p_1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
D'où la loi de probabilité pour cette expérience aléatoire :

valeurs $x_i$	1	2
probabilités $p_i$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

Algorithmique :

L'algorithme suivant simule le tirage d'un échantillon de N lancers de dés à 6 faces et affiche la fréquence d'apparition de la face 1 :

Variables : i, t, S, p, N
Entrée : N
Début traitement :
Affecter à S la valeur 0;
Pour i allant de 1 à N :
Affecter à t un nombre entier aléatoire entre 1 et 6 ;
Si t = 1 alors affecter à S la valeur de S+1;
Fin pour ;
Affecter à p la valeur $S/N\times 100$ ;
Sortie : S.

III - Evénements

Définitions :

On considère une expérience aléatoire d'univers des possibles E.

Un événement est ____ un ensemble d'éventualités. Un événement A est donc une partie de l'univers de E.
Le nombre d'éventualités qui le constitue est appelé le cardinal de l'événement et est noté card(A).
Tout événement formé d'une seule éventualité est appelé ____ événement élémentaire.
$\emptyset$ est appelé ____ événement impossible.
L'univers E est appelé ____ événement certain.
L'événement constitué de l'ensemble des issues qui ____ ne réalisent pas A est noté $\overline{A}$ et est appelé ___
événement contraire ou événement complémentaire de A.

Exemple :

Lancer d'un dé à six faces :

"Obtenir 1 ou 2" est un événement ;
"obtenir 1" est un événement élémentaire ;
"obtenir 7" est un événement impossible.

IV - Equiprobabilité :

Définition et propriété :

Lorsque les n issues possibles d'une expérience aléatoire ont la même probabilité p de se réaliser, on parle alors de ____ loi équirépartie ou de situation d'équiprobabilité.
On alors la probabilité $p$ de chaque issue qui est donnée par ____ $p=\frac{1}{n}$.

Exemple :

Pour le lancer d'un dé non truqué à six faces, chaque face ayant la même probabilité d'apparaître, la loi est équirépartie et chaque face i a une probabilité $p_i$ d'apparaître égale à ____ $p_i=\frac{1}{6}$.

Programmation :

Le programme suivant effectue Simulations d'une loi équirépartie à n issues (n entier naturel non nul) et donne la fréquence d'apparition en pourcentage d'une issue :

Propriété :

Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement A est : ____ $$P(A)=\frac{\textrm{nombre d'issues favorables à A}}{\textrm{nombre d'issues possibles dans E}}$$

Exemple : [Savoir calculer des probabilités à partir d'un tableau d'effectifs]

Le tableau suivant montre la répartition des personnels d'une usine :

	Cadres	Ouvriers	Total
Hommes	100	200	300
Femmes	50	150	200
Total	150	350	500

On rencontre une personne au hasard. On note H l'événement "la personne rencontrée est un homme" et C l'événement "la personne rencontrée est un cadre".
Il y a équiprobabilité car, la rencontre se faisant au hasard, toutes les personnes ont la même probabilité d'être rencontrées.
____ L'univers est constitué des 500 personnes de l'usine.
L'événement H est constitué de 300 personnes. La probabilité de l'événement H est donc $P(H)=\frac{300}{500}=\frac{3}{5}$.
L'événement C est constitué de 150 issues. La probabilité de l'événement C est donc $P(C)=\frac{150}{500}=\frac{3}{10}$.

Exemple : [Savoir calculer des probabilités à partir d'un arbre]

Une urne contient 3 jetons rouges et 1 jeton vert indiscernables au toucher. On tire un jeton et on note sa couleur. On ne remet pas le jeton dans l'urne. On tire alors un deuxième jeton et on note sa couleur.
On peut visualiser les différentes issues possibles à l'aide de l'arbre suivant :
____ L'univers des possibles est constitué des couples de deux jetons qui apparaissent sur l'arbre précédent. Il y a équiprobabilité car les jetons sont indiscernables. On appelle A l'événement "Obtenir deux jetons rouges". D'après l'arbre, cet événement est constitué de ___.

V - Calculs avec des probabilités

Définition :

Soient A et B deux événements.

L'événement $A\cap B$ ____ (lire "A inter B" ou "A et B") est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
Lorsqu'aucune issue ne réalise A et B, c'est à dire lorsque $A\cap B=\emptyset$, on dit que A et B sont ____ incompatibles ou disjoints.
L'événement $A\cup B$ (lire "A union B" ou "A ou B") est l'ensemble des issues qui ____ réalisent ou A ou B ou les deux à la fois.

Propriété :

Soit P une loi de probabilité sur un univers E. Pour tous les événements A et B, on a :

____ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
____ $P(\overline{A})=1-P(A)$.

Exemple : [Calculer la probabilité d'une réunion d'événements]

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Chaque carte a la même probabilité $\frac{1}{32}$ d'être tirée.
On appelle C l'événement "on tire un coeur" et R l'événement "on tire un roi".
____ On a $P(C)=\frac{8}{32}$ et $P(R)=\frac{4}{32}$.
$R\cap C$ est l'événement "on tire le roi de coeur". On a $P(R\cap C)=\frac{1}{32}$.
$R\cup C$ est l'événement "on tire un roi ou un coeur".Sa probabilité est $P(R\cup C)=\frac{8}{32}+\frac{4}{32}-\frac{1}{32}=\frac{11}{32}$.
On enlève $\frac{1}{32}$ afin de ne pas compter deux fois le roi de coeur.

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