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\title{Probabilités - cours - 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}
\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Expériences aléatoires}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem Une expérience est dite \emphref{aléatoire} lorsqu'elle a plusieurs issues aussi appelées \emphref{éventualités} possibles dont on ne peut pas prévoir laquelle sera réalisée.
\nouvitem L'ensemble de toutes les éventualités constitue \emphref{l'univers} de tous les possibles.
\nouvitem Simuler une expérience aléatoire, c'est la remplacer par une autre expérience aléatoire dont les distributions de fréquences qu'elle donnerait pour un grand nombre de tirages serait proches.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{itemize}
\nouvitem Le lancer d'un dé à six faces constitue une expérience aléatoire d'issue $x_i$ pour $i$ allant de 1 à 6 et correspondants à la sortie de la face $i$ du dé. Il y a donc 6 issues ou éventualités possibles.
\nouvitem En supposant qu'il naît autant de garçons que de filles, la naissance d'un garçon ou d'une fille peut être simulée par le lancer d'une pièce, le côté pile représentant la naissance d'un garçon et le côté face la naissance d'une fille.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $n$ un entier naturel. Les séquences de tableur suivantes permettent d'obtenir des nombres entiers naturels au hasard compris entre 1 et $n-1$ afin de simuler une expérience aléatoire comportant $n$ issues possibles : ALEA.ENTRE.BORNES(1,n) ou ENT(ALEA()*n)+1
\end{encadrer}


\section{Lois de probabilité}

\begin{encadrer}{Définition}
Pour tout expérience aléatoire d'issues possibles $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ avec $n$ entier naturel, on définit une \emphref{loi de probabilité} en leur associant $n$ nombres réels $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$ tels que :
\begin{itemize}
 \nouvitem pour tout $i$ allant de 1 à $n$, $0 \leq p_i\leq 1$ ;
\nouvitem $p_1+p_2+...+p_n=1$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété (loi des grands nombres)}
Si on répète une expérience aléatoire d'univers $E=\{x_1;x_2;x_3;\ldots;x_n\}$ un \og{}grand nombre de fois\fg{} et pour une loi de probabilité adaptée à la situation, alors les fréquences de réalisation des issues $x_i$ se stabilisent autour des nombres $p_i$ 
\end{encadrer}


\begin{sanscadresansflush}{Exemple}
On jette un dé 100 fois et on note la face apparue à chaque lancer. Si le 1 apparaît 12 fois la fréquence de sortie est $\frac{12}{100}=0,12$. On a $f_1+f_2+\ldots+f_6=1$.

Si le nombre de lancers devient \og{}grand\fg{}, les fréquences se stabilisent autour de $\frac{1}{6}\approx 0,167$, probabilité d'apparition du 1.
\end{sanscadresansflush}


\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{loi de probabilité} d'une expérience aléatoire, la donnée de l'ensemble des issues possibles $x_i$ et des probabilités $p_i$ de chacune des issues.
\end{encadrer}
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
valeurs $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
\hline
probabilités $p_i$ & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}



\begin{sanscadre}{Exemple}
Une pièce de monnaie est truquée de sorte que la probabilité d'obtenir pile est le double de celle d'obtenir face. On appelle $p_1$ la probabilité d'obtenir pile et $p_2$ celle d'obtenir face. On a donc $p_1+p_2=1$. Or $p_1=2\times p_2$ donc $2p_2+p_2=1$ d'où $3p_2=1$ et $p_2=\frac{1}{3}$ et $p_1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.\\
D'où la loi de probabilité :\\
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
valeurs $x_i$ & pile & face \\
\hline
probabilités $p_i$ & $\frac{2}{3}$ & $\frac{1}{3}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
 L'algorithme suivant simule le tirage d'un échantillon de $N$ lancers de dés et affiche les fréquences d'apparition de la face 1 :

\begin{algorithm}
\Traitement{
Saisir $N$ ;\\
Affecter à $c$ la valeur 0;\\
\Pour{$i$ \textbf{ allant de }  1 \textbf{ à } $N$}{
Affecter à $t$ la valeur $ENT(\textrm{Nombre aléatoire}\times 6)+1$ ;\\
\Si{$t=1$}{Affecter à $c$ la valeur de $c+1$ ;}}
\Retour{$c/N\times 100$}}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\newpage



\section{\'Evénements}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
On considère une expérience aléatoire d'univers des possibles $E$.
\begin{itemize}
\nouvitem Un ensemble d'éventualités constitue un \emphref{événement}. Un événement $A$ est donc une partie de l'univers. Le nombre d'éventualités qui le constitue est appelé \emphref{cardinal} de l'événement et noté card($A$).
\nouvitem Tout événement formé d'une seule éventualité est appelé \emphref{événement élémentaire}.
\nouvitem  $\emptyset$ est appelé \emphref{événement impossible}.
\nouvitem $E$ est l'événement \emphref{certain}.
\nouvitem L'événement $\bar{A}$ appelé événement \emphref{complémentaire} ou \emph{contraire} de $A$ est l'ensemble des issues qui ne réalisent pas $A$. 
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Exemple}
lancer d'un dé à six faces :
\begin{itemize}
\nouvitem "obtenir 1 ou 2" est un événement ;
\nouvitem "obtenir 1" est un événement élémentaire ;
\nouvitem "obtenir 7" est l'événement impossible. 
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}



\begin{encadrer}{Définition et propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout événement $A$, on a $0\leqslant P(A) \leqslant 1$ ;
\nouvitem la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalise ;
\nouvitem $P(\emptyset )=0$ ;
\nouvitem $P(E) = 1$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}


\section{\'Equiprobabilité}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Lorsque les $n$ issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité $p$ de se réaliser, on parle de \emphref{loi équirépartie} ou de situation d'\emphref{équiprobabilité}. Alors $p=\frac{1}{n}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Pour le lancer d'un dé non truqué à six faces, chaque face ayant la même probabilité d'apparaître, la loi est équirépartie et chaque face $i$ a une probabilité $p_i$ d'apparaître égale à $p_i=\frac{1}{6}$
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété (cas d'une loi équirépartie)}
Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est :
$$P(A)=\frac{\textrm{nombre d'issues favorables à A}}{\textrm{nombre d'issues possibles dans E}}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
La tableau suivant montre la répartition des personnels d'une usine :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 & Cadres & Ouvriers & Total \\
 \hline
 Hommes & 100 & 200 & 300 \\
 \hline
 Femmes & 50 & 150 & 200 \\
 \hline
 Total & 150 & 350 & 500 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
On rencontre une personne au hasard. On note $H$ l'événement \og{}la personne rencontrée est un homme\fg{} et $C$ l'événement \og{} la personne rencontrée est un cadre\fg{}.\par 
\noindent Il y a équiprobabilité car, la rencontre se faisant au hasard, toutes les personnes ont la même probabilité d'être rencontrées.\par
\noindent L'univers est constitué des 500 personnes de l'usine.\par
\noindent L'événement $H$ est constitué de 300 personnes.  La probabilité de l'événement $H$ est donc $P(H)=\frac{300}{500}=\frac{3}{5}$.\par
\noindent L'événement $C$ est constitué de 150 issues. La probabilité de l'événement $C$ est donc $P(C)=\frac{150}{500}=\frac{3}{10}$.\par
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple 2, utilisation d'un \emphref{arbre}}
 Une urne contient 3 jetons rouges et 1 jeton vert indiscernables au toucher. On tire un jeton, on note sa couleur, on ne remet pas le jeton dans l'urne, on tire un deuxième jeton et on note sa couleur. On peut synthétiser la situation par l'arbre \emphref{probabiliste} suivant :
\begin{center}
 \includegraphics[width=9cm]{probabilitescoursimgarbre.png}
\end{center}
L'univers des possibles est constitué des couples de deux jetons qui apparaissent sur l'arbre précédent. Il y a équiprobabilité car les jetons sont indiscernables. On appelle A l'événement "Obtenir deux jetons rouges". D'après l'arbre, cet événement est constitué de 6 éventualités donc la probabilité de l'événement A est $P(A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
\end{sanscadre}

\section{Calculs avec des probabilités}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $A$ et $B$ deux événements.
\begin{itemize}
\nouvitem L'événement $A\cap B$ (lire "$A$ inter $B$"  ou "$A$ et $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois $A$ et $B$.
\nouvitem Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est à dire $A\cap B=\emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont \emphref{incompatibles} ou \emphref{disjoints}.
\nouvitem L'événement $A\cup B$ (lire "$A$ union $B$"  ou "$A$ ou $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent $A$ ou $B$, c'est à dire au moins l'un des deux événements.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété} 
Soit $P$ une loi de probabilité sur un ensemble $E$. 
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les événements $A$ et $B$, on a :
$$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
\nouvitem En particulier, si $A$ et $B$ sont des événements incompatibles, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
\nouvitem Pour tout les événements $A$ et $B$, 
$$P(\bar{A})=1-P(A)$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{probabilitescoursimgvennintersection.png}
\end{center}

\newpage

\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Dans le calcul de $P(A)+P(B)$, les probabilités élémentaires $p_i$ correspondants  à l'événement $A\cap B$ apparaissent deux fois pour obtenir $P(A\cup B)$, on les retrnche donc une fois ce qui revient à retrancher $P(A\cap B)$ à $P(A)+P(B)$ pour obtenir $P(A\cup B)$
\nouvitem Si $A$ et $B$ sont incompatibles, on a $A\cap B=\emptyset$ donc $P(A\cap B)=0$ d'où la formule.
\nouvitem On a $E=A\cup \bar{A}$ et $A\cap\bar{A}=\emptyset$ donc $A$ et $\bar{A}$ sont incompatibles et $P(E)=P(A\cup\bar{A})=P(A)+P(\bar{A})$. Or $P(E)=1$ donc $1=P(A)+P(\bar{A})$ d'où $P(\bar{A})=1-P(A)$.
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Chaque carte a la même probabilité $\frac{1}{32}$ d'être tirée. On appelle $C$ l'événement \og{} On tire un coeur\fg{} et $R$ l'événement \og{}On tire un roi\fg{}.\par
\noindent La probabilité $P(C)$ est $\frac{8}{32}$. La probabilité $P(R)$ est $\frac{4}{32}$.\par
\noindent $R\cap C$ est l'événement \og{} On tire le roi de coeur\fg{}. Sa probabilité $P(R\cap C)$ est $\frac{1}{32}$.\par
\noindent $R\cup C$ est l'événement \og{}On tire un roi ou un coeur\fg{}. Sa probabilité est $\frac{8}{32}+\frac{4}{32}-\frac{1}{32}=\frac{11}{32}$. On enlève $\frac{1}{32}$ afin de ne pas compter deux fois le roi de coeur.\par
\end{sanscadre}

\end{document}





