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\title{Simulations et probabilités - cours - 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\small Simulations et probabilités}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
 {\LARGE \textbf{Simulations et probabilités, cours de seconde}}
\end{center}



\section{Simulation d'expériences aléatoires}


	\begin{encadrer}{Définition}
	\begin{itemize}
	\nouvitem Une \emphref{expérience aléatoire} est une expérience dont le résultat soumis au hasard n'est pas prévisible.
	\nouvitem L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire constitue ................... ................ de tous les possibles.
	\nouvitem \emphref{Simuler} une expérience aléatoire, c'est la remplacer par une autre expérience aléatoire dont les distributions de fréquences qu'elle donnerait pour un grand nombre de tirages seraient proches.
	\end{itemize}
	\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{itemize}
\nouvitem Le lancer d'un dé à six faces constitue une expérience aléatoire d'issues $x_i$ pour $i$ allant de 1 à 6 et correspondants à la sortie de la face $i$ du dé. Il y a donc 6 issues ou éventualités possibles.
\nouvitem En supposant qu'il naît autant de garçons que de filles, la naissance d'un garçon ou d'une fille peut être simulée par un lancer de pièce, le côté \og{}pile\fg{}  représentant la naissance d'un garçon, le côté \og{}face\fg{}  la naissance d'une fille.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $n$ un entier naturel. La séquence suivante permet d'obtenir des nombres entiers naturels au hasard compris entre 1 et $n$ afin de simuler une expérience aléatoire comportant $n$ issues possibles :
$$................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Pour simuler le lancer d'un dé à 6 faces non truqué, on peut utiliser la formule ..................
\end{sanscadre}

\section{Lois de probabilité}

\begin{encadrer}{Définition}
Pour tout expérience aléatoire d'issues possibles $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ avec $n$ entier naturel, on définit une \emphref{loi de probabilité} en leur associant $n$ nombres réels $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$ tels que :
\begin{itemize}
 \nouvitem pour tout $i$ allant de 1 à $n$, ..............................; ;
\nouvitem ...............................
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On donne souvent la loi de probabilité sous la forme d'un tableau :\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
issues $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
\hline
probabilités $p_i$ & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété et définition (loi des grands nombres)}
Si on répète une expérience aléatoire d'univers $E=\{x_1;x_2;x_3;\ldots;x_n\}$ \og{}un grand nombre de fois\fg{}, alors ...................... ................. ................... ..................... .................. ................. .................... .................... ................
\end{encadrer}


\begin{sanscadresansflush}{Exemple}
On jette un dé 100 fois et on note la face apparue à chaque lancer. Si le 1 apparaît 12 fois la fréquence de sortie est $\frac{12}{100}=0,12$. On a $f_1+f_2+\ldots+f_6=.........$.

Si le nombre de lancers devient grand, les fréquences se stabilisent autour de ................, probabilité d'apparition du 1.
\end{sanscadresansflush}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Une pièce de monnaie est truquée de sorte que la probabilité d'obtenir pile est le double de celle d'obtenir face. On appelle $p_1$ la probabilité d'obtenir pile et $p_2$ celle d'obtenir face.\\
On a donc $....................$. Or $p_1=2\times p_2$ donc $..................$ d'où $..................$ et $...........................$ et $..............$.\\
La loi de probabilité est donc :\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
issues & ... & ... \\
\hline
probabilités &  ... & ... \\
\hline
\end{tabular}
\end{sanscadre}



\section{Probabilités d'événements}

\begin{encadrer}{Définitions}
Soit $E$ l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Soit $r$ le nombre d'issues de l'expérience.
\begin{itemize}
\nouvitem Un ensemble d'éventualités constitue un ............................... $A$. Un événement $A$ est donc une partie de l'univers.\par
Le nombre d'éventualités qui le constitue est appelé ............................. de $A$ et noté ..................
\nouvitem Tout événement formé d'une seule éventualité est appelé ............... .................
\nouvitem  $\emptyset$ est appelé ............... ...................
\nouvitem $E$ est l'événement ............. ...............
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Exemple}
lancer d'un dé à six faces :
\begin{itemize}
\nouvitem .................................... est un événement ;
\nouvitem .................................... est un événement élémentaire ;
\nouvitem .................................... est l'événement impossible. 
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\begin{onehalfspace}
\nouvitem Pour tout événement $A$, on a $.......... \leqslant P(A) \leqslant ...........$ ;
\nouvitem la probabilité d'un événement est ........................... des probabilités des issues qui le réalise ;
\nouvitem $P(\emptyset )=........$ ;
\nouvitem $P(E) = ........$ ;
\end{onehalfspace}
\end{itemize}
\end{encadrer}


\section{\'Equiprobabilité}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Lorsque les $n$ issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité $p$ de se réaliser, on parle de ............... ............. ou ....................   ................... Alors $p=..............$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Pour le lancer d'un dé non truqué à six faces, chaque face ayant la même probabilité d'apparaître, la loi est équirépartie et chaque face $i$ a une probabilité $p_i$ d'apparaître égale à $p_i=............$
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété (cas d'une loi équirépartie)}
Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est :
$$............$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple 1, utilisation d'un \emphref{tableau}}
Le tableau suivant montre la répartition des personnels d'une usine :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 & Cadres & Ouvriers & Total \\
 \hline
 Hommes & 100 & 200 & 300 \\
 \hline
 Femmes & 50 & 150 & 200 \\
 \hline
 Total & 150 & 350 & 500 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
\begin{onehalfspace}
On rencontre une personne au hasard. On note $H$ l'événement \og{}la personne rencontrée est un homme\fg{} et $C$ l'événement \og{} la personne rencontrée est un cadre\fg{}.\par 
\noindent Il y a ........... .............. car, la rencontre se faisant au hasard, toutes les personnes ont la même probabilité d'être rencontrées.\par
\noindent L'univers est constitué des ............... personnes de l'usine.\par
\noindent L'événement $H$ est constitué de ............ personnes.\par
\noindent  La probabilité de l'événement $H$ est donc $P(H)=......$.\par
\noindent L'événement $C$ est constitué de .............. issues.\par
\noindent La probabilité de l'événement $C$ est donc $P(C)=...........$.\par
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple 2, utilisation d'un \emphref{arbre}}
 Une urne contient 3 jetons rouges et 1 jeton vert indiscernables au toucher. On tire un jeton, on note sa couleur, on ne remet pas le jeton dans l'urne, on tire un deuxième jeton et on note sa couleur. On peut synthétiser la situation par l'arbre \emphref{probabiliste} suivant :
\begin{center}
 \includegraphics[width=9cm]{probabilitescoursimgarbre.png}
\end{center}
\begin{onehalfspace}
L'univers des possibles est constitué des ................... .................. qui apparaissent sur l'arbre précédent. Il y a ............... ............. car les jetons sont indiscernables. On appelle A l'événement "Obtenir deux jetons rouges". D'après l'arbre, cet événement est constitué de .......... éventualités donc la probabilité de l'événement A est $P(A)=................$.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\section{Calculs avec des probabilités}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $A$ et $B$ deux événements.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem L'événement $A\cap B$ (lire "$A$ .......... $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois $A$ .......... $B$.
\nouvitem Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est à dire $A\cap B=.............$, on dit que $A$ et $B$ sont ........................... ou .....................
\nouvitem L'événement $A\cup B$ (lire "$A$ ........... $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent $A$ ........... $B$, c'est à dire .................... ............... des deux événements.
\nouvitem L'événement $\bar{A}$ appelé événement ................... ............. ou ............. .............. de $A$ est l'ensemble des issues qui .................. .................. .............. 
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété} 
Soit $P$ une loi de probabilité sur un ensemble $E$. 
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les événements $A$ et $B$, on a :
$$.............$$
\nouvitem Pour tout événement $A$, 
$$.................$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{probabilitescours2ndeimgvenn.png}
\end{center}


\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Dans le calcul de $P(A)+P(B)$, les probabilités élémentaires $p_i$ correspondants  à l'événement $A\cap B$ apparaissent deux fois pour obtenir $P(A\cup B)$, on les retrnche donc une fois ce qui revient à retrancher $P(A\cap B)$ à $P(A)+P(B)$ pour obtenir $P(A\cup B)$
\nouvitem On a $E=A\cup \bar{A}$ et $A\cap\bar{A}=\emptyset$ donc $A$ et $\bar{A}$ sont incompatibles et $P(E)=P(A\cup\bar{A})=P(A)+P(\bar{A})$. Or $P(E)=1$ donc $1=P(A)+P(\bar{A})$ d'où $P(\bar{A})=1-P(A)$.
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Chaque carte a la même probabilité $\frac{1}{32}$ d'être tirée. On appelle $C$ l'événement \og{} On tire un coeur\fg{} et $R$ l'événement \og{}On tire un roi\fg{}.\par
\begin{onehalfspace}
\noindent La probabilité $P(C)$ est $..................$. La probabilité $P(R)$ est $.......................$.\par
\noindent $R\cap C$ est l'événement \og{} On tire le roi de coeur\fg{}. Sa probabilité $P(R\cap C)$ est $.........................$.\par
\noindent $R\cup C$ est l'événement \og{}On tire un roi ou un coeur\fg{}. Sa probabilité est $......$.\par
\noindent On enlève $...............$ afin de ne pas compter deux fois le roi de coeur.\par
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\end{document}





