Fonctions de référence, classe de seconde
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I - Etude des fonctions affines
Définition :
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle fonction affine la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par ____ $x \mapsto ax+b$.
Remarque :
Si $b=0$, $f$ est définie par $f(x)=ax$ et est ____ linéaire.
Représentation graphique :
La représentation graphique de toute fonction affine est une ____ droite.
Un point $M(x;y)$ appartient à la droite si et seulement si $x$ et $y$ sont solutions de ____ l'équation $y=ax+b$.
$y=ax+b$ est appelée équation de la droite représentant la fonction affine.
Définition :
On considère l'équation de droite $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
- $a$ est appelé ____ coefficient directeur de la droite ;
- $b$ est appelé ____ ordonnée à l'origine de la droite.
Variations :
____
- Si $a>0$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;+\infty[$ ;
- Si $a$ est négatif, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$ ;
- Si $a=0$, alors la fonction est constante égale à $b$.
____
Si $a$ est positif :
| $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ |
| $f(x)$ | | $\nearrow$ | |
Si $a$ est négatif :
| $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ |
| $f(x)$ | | $\searrow$ | |
Signe :
Si $a\neq 0$, les deux cas possibles sont résumés dans les tableaux de signes suivants :
____
Si $a$ est positif :
| $x$ | $-\infty$ | | $\frac{-b}{a}$ | | $+\infty$ |
| $ax+b$ | | - | 0 | + | |
Si $a$ est négatif :
| $x$ | $-\infty$ | | $\frac{-b}{a}$ | | $+\infty$ |
| $ax+b$ | | + | 0 | - | |
II - Etude de la fonction carré
La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par ____$$f(x)=x^2$$
Tableau de valeurs :
____
| $x$ | -4 | -3 | -2 | -1 | $-\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $x^2$ | 16 | 9 | 4 | 1 | $\frac{1}{4}$ | 0 | $\frac{1}{4}$ | 1 | 4 | 9 | 16 |
Variations
La fonction carré est :____
- strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ ;
- strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
Elle admet un minimum égal à 0 en 0.
| $x$ | $-\infty$ | | 0 | | $+\infty$ |
| | | | | | |
| $f(x)$ | | $\searrow$ | | $\nearrow$ | |
| | | | 0 | | |
Preuve :
- ____
Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $0 < x_1 < x_2$.
Alors, en multiplicant par $x_1>0$, on obtient $x_1^2 < x_1x_2$.
En multipliant par $x_2>0$, on obtient $x_1x_2 < x_2^2$.
Donc finalement en tenant compte des deux inégalités obtenus, $x_1^2 < x_2^2$
L'inégalité n'a donc pas changé de sens donc la fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
- ____ Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $ x_1 < x_2 \leq 0$.
Alors, en multiplicant par $x_1 < 0$, on obtient $x_1^2 > x_1x_2$.
En multipliant par $x_2 < 0$, on obtient $x_1x_2 > x_2^2$.
Donc finalement en tenant compte des deux inégalités obtenus, $x_1^2 > x_2^2$
L'inégalité a donc changé de sens donc la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$.
Signe
La fonction carré est ____positive sur $]-\infty;+\infty[$.
| $x$ | $-\infty$ | | 0 | | $+\infty$ |
| $x^2$ | | + | 0 | + | |
Représentation graphique
La représentation graphique de la fonction carré dans un repère du plan est appelée ____parabole.
Remarque :
Pour tout réel $x$, on a $f(-x)=f(x)$, on dit que la fonction est ____paire. Sa représentation graphique est ____symétrique par rapport à l'axe des ordonnées dans un repère orthogonal.
III -Etude de la fonction inverse
Définition :
On appelle fonction inverse la fonction $f$ définie pour tout nombre réel appartenant à $]-\infty ; 0[ \cup ]0;+\infty[$ par
____$$f(x)=\frac{1}{x}$$
Tableau de valeurs :
____
| $x$ | -4 | -3 | -2 | -1 | $-\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $f(x)$ | $\frac{-1}{4}$ | $\frac{-1}{3}$ | $\frac{-1}{2}$ | -1 | -2 | || | 2 | 1 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{4}$ |
Variations
La fonction inverse est :
____
- strictement décroissante sur $]-\infty ; 0[$ ;
- strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
| $f(x)$ | $-\infty$ | | 0 | | $+\infty$ |
| | | $\Vert$ | $\searrow$ | |
| $x$ | | | $\Vert$ | | |
| | | $\searrow$ | $\Vert$ | | |
Preuve :
- ____Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $0 < x_1 < x_2$.
On multiplie cette inégalité par $\frac{1}{x_1x_2}$ qui est positif. On a donc $\frac{x_1}{x_1x_2} < \frac{x_2}{x_1x_2}$
c'est à dire $\frac{1}{x_2} < \frac{1}{x_1}$ donc $\frac{1}{x_1} >\frac{1}{x_2}$.
L'inégalité a changé de sens donc la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
- ____Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $ x_1 < x_2 < 0$.
On multiplie cette inégalité par $\frac{1}{x_1x_2}$ qui est positif. On a donc $\frac{x_1}{x_1x_2} < \frac{x_2}{x_1x_2}$
c'est à dire $\frac{1}{x_2} < \frac{1}{x_1}$ donc $\frac{1}{x_1} >\frac{1}{x_2}$.
L'inégalité a changé de sens donc la fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
Signe :
La fonction inverse est ____négative sur $]-\infty;0[$ et positive sur $]0 ;+\infty[$.
| $x$ | $-\infty$ | | 0 | | $+\infty$ |
| $\frac{1}{x}$ | | - | || | + | |
Représentation graphique :
La représentation graphique de la fonction inverse est appelée ____hyperbole.
Remarque :
Pour tout réel $x$, $f(-x)=-f(x)$. La fonction est dite ____impaire. Sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$ est ____symétrique par rapport à l'origine O du repère.