
\documentclass[12pt]{article}

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\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}\par} % boîtes de propriétés

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}} 

\title{Second degré, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Second degré, cours, classe de 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Définition et forme canonique}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{fonction polynôme du second degré} toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et qui s'écrit $f(x)=$....................... où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés et $a\neq 0$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Toute fonction polynôme du second degré $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b, c\in \mathbb{R}$ et $a\neq 0$ s'écrit aussi :
$$....................$$
où $$................$$ (prononcer \og{}alpha\fg{}) $$....................$$ (prononcer \og{}beta\fg{})\\
Cette écriture est appelée ................................ de la fonction $f$.
\end{encadrer}
}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=3x^2-6x+1$.\\
On a $\alpha=..........$\\
et $f(\alpha)=.............$\\
On vérifie que $3(x-1)^2-2=.................$\\
Donc $3(x-1)^2-2$ est bien la forme ................ associée à $f(x)=3x^2-6x+1$.
\end{sanscadre}

\section{\'Etude des variations}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour toute fonction polynôme du second degré $f\mapsto ax^2+bx+c$,
\begin{itemize}
 \nouvitem si $a>0$ la fonction $f$ est strictement .................. puis strictement ................. et admet un minimum en $x=$........
\nouvitem si $a<0$ la fonction $f$ est strictement ..................... puis strictement ...................... et admet un maximum en $x=$.......
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\newpage

\begin{sanscadre}{Synthèse}
Si $a>0$,
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|ccccc|}
 \hline
$x$ & -$\infty$ & & ......  & & $+\infty$ \\
\hline
 & & &  & & \\
$f(x)$ & & ...... & ...... & ..... & \\
 & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
et si $a<0$,
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & -$\infty$ & & ......  & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & & & \\
$f(x)$ & & ...... & ...... & ....... & \\
 & & & & & \\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Supposons $a<0$, l'autre cas se traiterait de la même manière. On a  $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ où $a$, $\alpha$ et $\beta$ sont des réels avec $a\neq 0$.
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels de l'intervalle $]-\infty;\alpha]$ et tels que $x_1< x_2$. On a donc $x_1-\alpha ..... x_2-\alpha\leq 0$. Comme la fonction carré est strictement ........... sur $]-\infty;0]$, on a donc $(x_1-\alpha)^2 ....... (x_2-\alpha)^2$ d'où en multipliant par le nombre $a$ ........., $a(x_1-\alpha)^2 ..... a(x_2-\alpha)^2$ et $a(x_1-\alpha)^2+\beta ..... a(x_2-\alpha)^2+\beta$ c'est à dire $f(x_1) ..... f(x_2)$ ce qui justifie que la fonction est strictement ............... sur $]-\infty;\alpha]$.
 \nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels de l'intervalle $[\alpha;+\infty[$ et tels que $x_1< x_2$. On a donc $0\leq x_1-\alpha .... x_2-\alpha$. Comme la fonction carré est strictement .............. sur $[0;+\infty[$, on a donc $(x_1-\alpha)^2.....(x_2-\alpha)^2$ d'où en multipliant par le nombre $a$ négatif, $a(x_1-\alpha)^2........a(x_2-\alpha)^2$ et $a(x_1-\alpha)^2+\beta.....a(x_2-\alpha)^2+\beta$ c'est à dire $f(x_1).... f(x_2)$ ce qui justifie que la fonction est strictement ............. sur $[\alpha;+\infty[$.
\end{itemize}
On a donc bien un maximum pour $x=$..... et ce maximum est $f(.......)=$.....
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Dans l'exemple précédent $f(x)=3x^2-6x+1$.  On a vu que $\alpha=$...... et $f(....)=$.... . Par ailleurs, $a=3$. $a$ est positif donc on a le tableau de variations suivants :
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
 \hline
$x$ & -$\infty$ & & .... & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & & & \\
$f(x)$ & & ........... & ..... & ...... & \\
 & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\section{Représentation graphique}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Dans un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$ du plan, la représentation graphique de la fonction trinôme du second degré $f$ est appelée une ................. dont le point $S$ de coordonnées ............... est le sommet.
\end{encadrer}
}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{sanscadre}{Exemple}
On a vu que pour $f(x)=3x^2-6x+1$, on a $\alpha=$....  et $f(....)=$..... donc le point $S$ de coordonnées .............. est le sommet de la parabole représentant la fonction $f$.
\end{sanscadre}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{seconddegrecoursimgexemple.png}
\end{center}
\end{minipage}



\section{Transformations d'écritures}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$, $b$ et $k$ :
$$........$$
$$....$$
\emphref{forme factorisée, produit} \hfill \emphref{forme développée, somme}
\end{encadrer}
}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les nombres réels $a$ et $b$ on a les \emphref{identités remarquables} suivantes :
$$....$$
$$....$$
$$....$$
\emphref{forme factorisée, produit} \hfill \emphref{forme développée, somme}
\end{encadrer}
}
\newpage


\section{Résolution d'équations du second degré}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemples de résolution d'équations du second degré :}
\begin{itemize}
\nouvitem Résolution de l'équation $(3x+2)(4x-3)=0$ dans l'ensemble des réels.\\
D'après la propriété énoncée,  $............$ ou $..............$\\
c'est à dire $..............$ ou $...........$\\
donc encore $x=.........$ ou $x=.........$.\\
L'équation $(3x+2)(4x-3)=0$ a donc pour solutions $............$ et $........$. \par
\nouvitem Résolution de l'équation $(3x+2)(2x-1)-x(3x+2)=0$ dans l'ensemble des réels.\\
Ici, l'équation n'est pas factorisée. La développer ne permet pas de résoudre l'équation car on trouve $3x^2-x-2=0$ qu'on ne sait pas résoudre.\\
Il faut donc la factoriser : l'équation donne alors $.......................$\\
c'est à dire $..........................=0$ qui se résout en utilisant la propriété énoncé ci-dessus.\\
On a donc $.............$ ou $..............$\\
donc $x=$...... ou $x=$......\par
\nouvitem Résolution de l'équation $x^2+4x+4=0$.\\
Ici encore, l'équation n'est pas factorisée.\\
Il n'y a pas de facteur commun mais une identité remarquable apparaît : ................. .\\
On résout donc l'équation ...................\\
qui donne $...............$ donc $..........$.\par
\nouvitem Résolution de l'équation $(x+5)^2-8=0$ dans $\mathbb{R}$.\\
On factorise en remarquant que $8=\sqrt{8}^2$ avec l'identité remarquable ...........................\\
D'où l'équation $(X+5)^2-\sqrt{8}^2=0$  \\
équivaut à ................................................. \\
Donc à .......... ............ ou ........... .................\\
D'où ....................... ou ............................\\
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage

\section{\'Etude de signe de produits et résolution d'inéquations produits}

\subsection{Rappel : étude du signe des fonctions affines}


\begin{sanscadre}{Synthèse}

\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{9cm}
Si $m>0$ :

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|lcccr|}
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{p}{m}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & ... & \\$mx+p$ & & & & & \\

\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{9cm}
Si $m<0$ :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|lcccr|}
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{p}{m}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & ... & \\
$mx+p$ & & & & & \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}

\subsection{\'Etudes de signes de produits}
\begin{sanscadre}{Exemple}
\noindent On considère le produit $(2x-3)(1-x)$.
\noindent On détermine les solutions de l'équation $(2x-3)(1-x)=0$:\\
$2x-3=0$ équivaut à $x=.......$\\
$1-x=0$ équivaut à $x=........$.\par
\noindent On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de $2x-3$ et de $1-x$, puis on utilise la règle des signes pour les produits :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}
$x$ & $-\infty$ & & ... & & ... & & $+\infty$ \\
\hline
$2x-3$ & & ... & & ... & ... & ... & \\
\hline
$1-x$ & & ... & ... & ... & & ... & \\
\hline
$(2x-3)(1-x)$ & & ... & & ... & & ... &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}



\subsection{Résolution d'inéquations produits}
\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère l'inéquation produit $(2x-3)(1-x)\leq 0$.
D'après le tableau de signes précédent, l'ensemble des solutions est $\mathcal{S}=]-\infty;1]\cup [\frac{3}{2};+\infty[$.
\end{sanscadre}
\end{document}
