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\title{Fonction carré, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonction carré - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{\'Etude de la fonction carré}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
La fonction \emph{carré} est définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=x^2$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Variations}
La fonction carré est :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] décroissante sur $]-\infty ; 0]$ ;
\item[$\bullet$] croissante sur $[0 ; +\infty[$.
\end{itemize}
Elle admet un minimum égal à 0 en 0.
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & & & \\ 
$f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & & & 0 & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
 \nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $0\leq x_1 \leq x_2$. Alors en multipliant par $x_1$ qui est positif on obtient $0\leq x_1^2 \leq x_1x_2$ et en multipliant par $x_2$ qui est positif on a $0\leq x_1x_2\leq x_2^2$ donc finalement $x_1^2\leq x_2$ ce qui signifie que la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$.
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1 \leq x_2\leq 0$. Alors en multipliant par $x_1$ qui est négatif on obtient $ x_1^2 \geq x_1x_2$ et en multipliant par $x_2$ qui est négatif on a $x_1x_2\geq x_2^2$ donc finalement $x_1^2\geq x_2$ ce qui signifie que la fonction carré est décroissante sur $[0;+\infty[$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Signe}
La fonction carré est positive sur $]-\infty;+\infty[$.
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|l|lcccr|}
 \hline
$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
\hline
$x^2$ &  & + & 0 & + & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Représentation graphique}
La représentation graphique de la fonction carré dans un repère du plan est appelée \emphref{parabole}.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsreferencescoursfig3.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Pour tout réel $x$, on a $f(-x)=f(x)$, on dit que la fonction est paire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées dans un repère orthogonal.
\end{sanscadre}
 
\section{Résolution d'équations}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout réel $k>0$, l'équation $x^2=k$ admet deux solutions $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$.
\nouvitem Pour tout réel $k<0$, l'équation $x^2=k$ n'admet aucune solution réelle.
\nouvitem L'équation $x^2=0$ admet pour unique solution $0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Propriété}
 Seul le cas où $k>0$ n'est pas immédiat. On suppose donc $k>0$. L'équation s'écrit alors $x^2-k=0$ c'est à dire $x^2-\sqrt{k}^2=0$ ce qui équivaut à $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0$ d'après l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Le porduit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, c'est à dire $x-\sqrt{k}=0$ ou $x+\sqrt{k}=0$ ce qui justifie le résultat.
\end{sanscadre}


\end{document}
