Fonctions affines et systèmes d'équations, cours, 2nde
I - Etude des fonctions affines
Définition :
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle fonction affine la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par___ $x \mapsto ax+b$.
Remarque :
Si $b=0$, $f$ est définie par $f(x)=ax$ et est ___ linéaire.
Représentation graphique :
La représentation graphique de toute fonction affine est une ___ droite.
Un point $M(x;y)$ appartient à la droite si et seulement si $x$ et $y$ sont solutions de ___ l'équation $y=ax+b$.
$y=ax+b$ est appelée équation de la droite représentant la fonction affine.
Exemple : [Tracer la représentation graphique d'une fonction affine donnée]
Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=-2x+3$ pour tout réel $x$.
___
Pour $x=0$, $y=-2\times 0+3=3$ donc $A(0;3)$ appartient à la représentation graphique de la fonction $f$.
Pour $x=3$, $y=-2\times 3+3=-3$ donc $B(3;-3)$ appartient à la représentation graphique de la fonction $f$.
Définition :
On considère l'équation de droite $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
Variations :
___
- Si $a>0$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;+\infty[$ ;
- Si $a$ est négatif, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$ ;
- Si $a=0$, alors la fonction est constante égale à $b$.
___
Si $a$ est positif :
| $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ |
| $f(x)$ | | $\nearrow$ | |
Si $a$ est négatif :
| $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ |
| $f(x)$ | | $\searrow$ | |
Preuve :
___
- Si $a>0$, soient $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1< x_2$.
Alors $ax_1< ax_2$ ;
et $ax_1+b< ax_2+b$ ;
c'est à dire $f(x_1)< f(x_2)$ donc $f$ conserve les inégalités et est donc strictement croissante sur $]-\infty ; +\infty[$.
- Si $a\leq 0$, soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1< x_2$
Alors $ax_1>ax_2$ ;
et $ax_1+b>ax_2+b$ ;
c'est à dire $f(x_1)>f(x_2)$ donc $f$ change le sens des inégalités et est donc strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$.
Exemple :[Savoir reconnaître les variations d'une fonction affine dont l'écriture algébrique est donnée ]
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3-2x$.
___
$f(x)=3+(-2x)=-2x+3$ donc $f$ est affine avec $a=-2$ et $b=3$.
Comme $a< 0$,la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$.
Signe :
Si $a\neq 0$, les deux cas possibles sont résumés dans les tableaux de signes suivants :
___
Si $a$ est positif :
| $x$ | $-\infty$ | | $\frac{-b}{a}$ | | $+\infty$ |
| $ax+b$ | | - | 0 | + | |
Si $a$ est négatif :
| $x$ | $-\infty$ | | $\frac{-b}{a}$ | | $+\infty$ |
| $ax+b$ | | + | 0 | - | |
Preuve :
___
Si $a$ est positif, $f(x)>0$ équivaut à $ax+b>0$
c'est à dire à $ax>-b$.
avec $a>0$, cela équivaut encore à $x>\frac{-b}{a}$ d'où le premier tableau de signe.
Si $a$ est négatif $f(x)>0$ équivaut à $ax+b>0$
c'est à dire à $ax>-b$.
Avec $a< 0$, cela équivaut à $x< \frac{-b}{a}$. D'où le second tableau de signe.
Exemple : [Savoir dresser le tableau de signe d'une fonction affine]
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x+3$.
___
- On résout l'équation $f(x)=0$ pour connaître la valeur de $x$ qui annule $f(x)$ :
$f(x)=0$ équivaut à $-2x+3=0$ c'est à dire $-2x=-3$ donc $x=\frac{-3}{-2}$ donc $x=\frac{3}{2}$.
- On dresse le tableau de signe de $f$ :
| $x$ | $-\infty$ | | $\frac{3}{2}$ | | $+\infty$ |
| $ax+b$ | | + | 0 | - | |
II - Proportionnalité des accroissements
Propriété :
Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$ de représentation graphique $(d)$ dans un repère.
Alors l'accroissement de la variable $x$ est ___ proportionnel à l'accroissement des images $f(x)$ et le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur $a$ de la fonction affine.
C'est à dire que pour tous les points $A$ et $B$ de la droite $(d)$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$ on a :
___
$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
et
___
$b=y_A-ax_A$
Preuve :
___
On a $y_B-y_A=f(x_B)-f(x_A)=ax_B+b-(ax_A+a)=ax_B-ax_A+b-b=a(x_B-x_A)$.
D'où la proportionnalité entre les $x$ et les $f(x)$.
Par ailleurs, $A(x_A;y_A)$ appartient à la droite donc $y_A=ax_A+b$ d'où $b=y_A-ax_A$ et la deuxième formule.
Exemples d'utilisation :
- [Savoir déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine connaissant deux points de sa représentation graphique]
Soit $f$ une fonction affine telle que $f(1)=5$ et $f(3,5)=15$.
___
$f$ est affine donc admet une expression algébrique de la forme $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels à déterminer.
$A(1;5)$ et $B(3,5;15)$ sont deux points de la droite représentant $f$.
On a $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{15-5}{3,5-1}=4$.
Donc $f(x)$ s'écrit pour tout réel $x$, $f(x)=4x+b$.
On sait en outre que $A(1;5)$ appartient à la droite donc $b=5-4\times 1=1$ (on aurait aussi pu utiliser le point $B$).
Finalement, $f(x)=4x+1$.
- [Savoir tracer la représentation graphique d'une fonction affine en utilisant les coefficients $a$ et $b$]
Soit $f$ la fonction affine dont la droite $(d)$ qui la représente pass par le point $A(-2;-3)$ et dont le coefficient directeur $a$ est égal à 2.
___
Si, à partir du point A, on avance de 1 unité en abscisses (autrement dit si $x_B-x_A=1$), alors pour retrouver un point $B$ de $(d)$, on doit augmenter de 2 en ordonnées (autrement dit $y_B-y_A=2$).
III - Systèmes d'équations
Résoudre graphiquement un système d'équations consiste à ___ interpréter le système à l'aide de deux fonctions affines dont les droites représentations graphiques ont pour équations les deux équations du système. La solution du système, s'il y en a, est alors le couple de coordonnées du point d'intersection des deux droites.