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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{systemedeq}[4]{\left\{ \begin{array}{rcl} #1 & = & #2 \\ #3 & = & #4 \\ \end{array} \right.}

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\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Fonctions affines et systèmes d'équations, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}


\begin{center}
\huge Fonctions affines et systèmes d'équations, cours, classe de 2nde
\end{center}

\begin{onehalfspace}
\section{\'Etude des fonctions affines}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle fonction \emphref{affine} la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $.................$, $f$ est dite \emphref{linéaire}.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=3x+4$ pour tout $x$ réel. $f$ est une fonction affine.\par
\noindent On a $f(6)=$..........\par
\noindent ........ est donc l'image de ....... par $f$.\par
Pour rechercher les antécédents de 6 par $f$ on ........................\par
\noindent c'est à dire .................. donc .................... donc .............. et $x=......$.\par
\noindent 6 a donc un unique antécédent par $f$, il s'agit de ..............
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Représentation graphique}
La représentation graphique de toute fonction affine est ..................... .\\
Un point $M(x;y)$ appartient à la droite si et seulement si $x$ et $y$ sont solutions de l'équation ............. . Cette équation est appelée \emphref{.................. .....................} représentant $f$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Représentation graphique de $f:x\mapsto -2x+3$.\\
On obtient les coordonnées de deux points de la droite :\\
Pour $x=$......, $y=$............... donc $A(......;......)$ appartient à la représentation graphique de la fonction $f$.\\
Pour $x=$......., $y=$.............. donc $B(.......;.......)$ appartient à la représentation graphique de la fonction $f$.\\
\end{sanscadre}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{fonctionsreferencecoursimgaffinedecroissante.png}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{fonctionsreferencecoursimgaffinecroissante.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Variations}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a>0$ alors la fonction $f$ est ............. ................. sur $]-\infty ;+\infty[$;
\item[$\bullet$] si $a=0$ alors la fonction $f$ est ................... sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
\item[$\bullet$] si $a<0$ alors la fonction $f$ est ............ ................ sur $]-\infty ; +\infty[$.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$.........$$
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & ..... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$.....$$
\rowcolors{1}{}{}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & ...... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a>0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ ....................,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1).........f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1.......x_2$.\\ 
Alors $ax_1........ax_2$ et $ax_1+b....... ax_2+b$\\
c'est à dire $f(x_1)............f(x_2)$ donc $f$ est strictement .................... sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
\item[$\bullet$] Si $a=0$, pour tout $x$ réel, $f(x)=b$ donc $f$ est ..................... égale à $b$ ;
\item[$\bullet$] si $a<0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ ...............,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)......f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$.\\
Alors on a $ax_1.......ax_2$ puis $ax_1+b.........ax_2+b$\\
c'est à dire $f(x_1)>f(x_2)$
donc $f$ est strictement ................. sur $]-\infty ; +\infty[$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir reconnaître les variations d'une fonction affine dont l'écriture algébrique est donnée]}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3-2x$.\\
$f(x)=$.................. donc $a=$....... . Comme $a......0$, la fonction $f$ est strictement ..................... sur $]-\infty;+\infty[$.
\end{sanscadre}


\subsection*{Signe}
 Si $a\neq0$, les deux cas possibles sont résumés dans les tableaux de signe suivants :
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{cc}
si $........$ :
&
si $........$ :
\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $....$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & .... & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $.......$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & ... & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
$f(x)>0$ signifie $ax+b>0$\\
c'est à dire .................\\
ou encore si $a<0$, ..................\\
et, si $a>0$, ................\\
D'où les tableaux de signe.
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir dresser le tableau de signe d'une fonction affine]}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x+3$.\\
\begin{itemize}
\nouvitem On résout l'équation $f(x)=0$ pour savoir pour quelle valeur de $x$, $f(x)$ s'annule  :\\
$f(x)=0$ équivaut à ................ c'est à dire à ............. donc .......\\
\nouvitem On dresse le tableau de signes :\\
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & ........... & & $+\infty$ \\
\hline
$f(x)$ & & .... & .... & ..... &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Proportionnalité des accroissements}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit une fonction affine $f$ définie par $f(x)=ax+b$ de représentation graphique $(d)$ dans un repère du plan.
Alors l'accroissement de la variable $x$ est proportionnel à l'accroissement des images $f(x)$ et le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur $a$ de la fonction affine c'est à dire que pour tous les points $A$ et $B$ de la droite $(d)$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$ on a :
$$.........................$$
et
$$.....................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a $y_B-y_A=$........\\

D'où la proportionnalité et la première formule.

Par ailleurs, $A(x_A;y_A)$ appartient à la droite donc $y_A=ax_A+b$ d'où $b=$......... et la deuxième formule.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemples d'utilisations}
\begin{itemize}
\nouvitem[\textbf{Savoir déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine connaissant deux points de sa représentation graphique}]\\
Soit $f$ une fonction affine telle que $f(1)=5$ et $f(3,5)=15$.\\
$f$ est affine donc de la forme $f(x)=$.............. pour tout $x$ réel où $a$ et $b$ sont deux nombres réels à déterminer et $A(.......;........)$ et $B(.......;........)$ sont deux points de la droite représentant $f$.

On $a=$..........\\
Donc $f(x)$ s'écrit $f(x)=$............. pour tout réel $x$.\\
En outre on sait que $A(........;.........)$ appartient à la droite donc $b=$........................... (on aurait tout aussi bien pu utiliser le point $B$).\\
Finalement, $f(x)=$............ .
\nouvitem[\textbf{Savoir tracer la représentation graphique d'une fonction affine en utilisant les coefficients $a$ et $b$}]\\
Soit $f$ la fonction affine dont la droite $\mathcal{D}$ qui la représente dans un repère passe par le point $A$ de coordonnées $(-2;-3)$ et dont le nombre $a$ dans l'écriture $f(x)=ax+b$ vaut $b=2$. Alors si on avance de 1 unité en abscisse (autrement dit si $x_B-x_A=1$), pour retrouver un point de la droite $\mathcal{D}$ on doit augmenter de 2 en ordonnées pour retrouver un point $B$ de la droite ($y_B-y_A=2$).
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{fonctionsreferencesimgaffinecoeff.png}
\end{center}


\section{Systèmes de deux équations à deux inconnues}

\subsection{Vocabulaire}

\begin{encadrer}{Définition}
Un système d'équations de deux inconnues est constitué de deux équations ayant chacune deux inconnues.\\
Les solutions d'un système d'équations à deux inconnues sont les couples de nombres qui vérifient les deux équations à la fois.\\
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Exemple}
$$\left \{\begin{array}{rcl}
2x-y & = & 1 \\
-x+2y & = & 4 \\
\end{array} \right.$$
$2x-y$ est une des deux équations du système et $x$ et $y$ en sont les inconnues.\\
Résoudre ce système, c'est trouver tous les couples de nombres $(x;y)$ qui sont solutions des deux équations.
\end{sanscadre}

\subsection{Méthodes de résolution algébriques}

\subsubsection*{Substitution :}

\begin{encadrer}{Méthode}
On exprime l'une des inconnues en fonction de l'autre l'aide d'une des équations  et on reporte l'expression dans la deuxième équation.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
2x-y & = & 1\textrm{ (1)}\\
-x+2y & = & 4\textrm{ (2)}\\
\end{array}
\right.$$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
y & = & 2x-1 \textrm{ on exprime y en fonction de x avec (1)}\\
-x+2y & = &4\\
\end{array}
\right.$$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
y & = & 2x-1 \\
-x+2(2x-1) & = & 4\textrm{ on reporte l'expression de y dans la deuxième équation} \\
\end{array}
\right.$$
On calcule $x$ à l'aide de l'équation restante :
$$......................$$
$$......................$$
$$......................$$
$$......................$$
On reporte la valeur de $x$ trouvée pour trouver $y$ :
$$.....................$$
$$.....................$$
On vérifie ensuite que le couple trouvé convient bien :
$$\systemedeq{2\times 2-3}{1}{-2+2\times 3}{4}$$
Le système admet une seule solution, le couple $...............$.\\
\end{sanscadre}

\subsubsection*{Combinaison :}

\begin{encadrer}{Méthode}
Dans la méthode par combinaison, on multiplie l'une ou les deux équations  par des nombres convenablement choisis de telle manière que l'une des inconnues disparaisse par addition membre à membre.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$$\systemedeq{2x+3y}{5 \textrm{(a)}}{5x+3y}{16\textrm{ (b)}}$$
On multiplie les deux membres de $(a)$ par -5 et les deux membres de $(b)$ par 2 :
$$\systemedeq{(-5)\times 2x+(-5)\times 3y}{(-5)\times 5\textrm{ (a)}\times 5}{2\times 5x+2\times 3y}{16\times 2\textrm{ (b)}\times 2}$$
$$\systemedeq{-10x-15y}{-25}{10x+6y}{32}$$
On additionne membre à membre la première et la deuxième équation :
$$......................$$
donc
$$.....$$
c'est à dire
$$y=......$$
On reporte ensuite dans l'une des équations d'origine :
$$....................$$
donc
$$................$$
c'est à dire
$$.................$$
donc
$$..................$$
ou
$$..................$$
On vérifie ensuite :
$$\systemedeq{2\times \frac{11}{3}+3\times -\frac{7}{9}}{5}{5\times\frac{11}{3}+3\times -\frac{7}{9}}{16}$$
Le système admet une unique solution, le couple : $(................;................)$.
\end{sanscadre}

\subsection{Résolution graphique}

\begin{encadrer}{Méthode}
Résoudre graphiquement un système d'équations consiste à interpréter le système à l'aide de deux fonctions affines dont les droites représentations graphiques ont pour équations les deux équations du système. La solution du système est alors le couple de coordonnées du point d'intersection des deux droites.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère le système d'équations suivant :
$$\systemedeq{2x-y}{1}{-x+2y}{4}$$
qui s'écrit aussi,
$$\systemedeq{y}{2x-1}{y}{0,5x+2}$$
Soit $(\mathcal{D}_1)$ la représentation graphique de la fonction affine $f$ définie par $f(x)=$................. et soit $(\mathcal{D}_2)$ la représentation graphique de la fonction affine $g$ définie par $g(x)=$............... .\\
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{fonctionsAffinesInterpretationSystemes2nde.png}
\end{center}
La solution du système est le couple $(2;3)$.
\end{sanscadre}

\end{onehalfspace}
\end{document}


