\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\title{Fonction inverse et étude de quotients, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\small Fonction inverse et étude de quotients, cours, 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
 {\Large \textbf{Fonction inverse et études de quotients}}
\end{center}

\begin{onehalfspace}
\section{\'Etude de la fonction inverse}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle fonction \emphref{inverse} la fonction $f$ définie  pour tout nombre réel appartenant à ................................ par ....................
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & -4 & -3 & -2 & -1 & $-\frac{1}{2}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
$f(x)$ & ..... & ..... & ..... & ....  & ..... & ..... & ..... & ..... & ..... & ..... & ..... \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection*{Représentation graphique :}
La représentation graphique de la fonction inverse est appelée ...................
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{fonctionInverseCourbeVide.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Pour tout réel $x$, $f(-x)=-f(x)$. La fonction est dite ........................ Sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$ est ......................... ...................... ....................
\end{sanscadre}

\subsection*{Variations :}
La fonction inverse est :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] ........................... ..........................
\item[$\bullet$] .......................... ...........................
\end{itemize}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$f(x)$ & $-\infty$ & & .... & & $+\infty$ \\
\hline

 &  & & ...... &  ...... &  \\
$x$ & .... &	& ......... &  & ... \\
 & & .......... & ......... & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $0<x_1\leq x_2$.\\
On multiplie cette inégalité par $\frac{1}{x_1x_2}$ qui est positif.\\ On a donc ............................ ..............\\
c'est à dire $\frac{1}{x_1} ...... \frac{1}{x_2}$\\
ce qui montre que la fonction inverse est .......................... ..................
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $x_1\leq x_2<0$.\\
On multiplie cette inégalité par $\frac{1}{x_1x_2}$ qui est positif.\\ On a donc ........................................... \\
c'est à dire ................... ............... \\
ce qui montre que la fonction inverse est ............................. .................
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection*{Signe}
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|l|lcccr|}
 \hline
$x$ & $-\infty$ & & ..... & & $+\infty$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ &  & ..... & .... & .... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}




\section{\'Etude de quotients}

\subsection{Valeurs interdites}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
on appelle ................................... d'une fonction $f$ donnée, tout réel $x$ n'appartenant pas à l'ensemble de définition de la fonction $f$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit  $f$ définie par $f(x)=\frac{3x+2}{-4x+5}$.\\
$f$ n'est pas définie si et seulement si ...................\\ c'est à dire .............. ou encore ....................\\ .................... est l'unique ....................... .............. pour $f$\\
et l'ensemble de définition de $f$ est ..............................
\end{sanscadre}

\newpage


\subsection{Résolution d'équations quotients}


\begin{encadrer}{Propriété}
Un quotient est nul si et seulement si ..............................
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples de résolution d'équations quotients}
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $$\frac{3x+2}{5x+3}=0$$
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche de valeurs interdites :\\
............... si et seulement si .............. c'est  à dire ...................\\ ...................... est donc la seule valeur interdite.
\nouvitem Résolution de l'équation quotient nul sur ..................... :\\
On a $\frac{3x+2}{5x+3}=0$ si et seulement si ................................ c'est  à dire ..............  donc .................... \\
L'unique solution de l'équation est donc ................. . 
\end{itemize}


\item On considère l'équation $$\frac{5x-2}{3x-1}=3$$
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche de valeurs interdites :\\
 ............ équivaut à .................
\nouvitem Résolution de l'équation sur .................... :\\
On peut utiliser un produit en croix : \\
$\frac{5x-2}{3x-1}=\frac{3}{1}$ équivaut à ......................\\
donc à .......................\\
c'est à dire$........................$ ou encore $........................$\\
On détermine les solutions en supprimant les valeurs interdites qui ne peuvent être solutions :
$$\mathcal{S}=\{.........................\}$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{sanscadre}

\newpage

\subsection{Exemple d'étude de signe d'un quotient}
On considère le quotient $$\frac{3-2x}{x+1}$$.

\begin{itemize}
\nouvitem On détermine les valeurs interdites : ici, on doit avoir ............ c'est à dire ............
\nouvitem On étudie le signe du numérateur et du dénominateur pour dresser le tableau de signe :
..................... équivaut à ...................
\end{itemize}

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}
$x$ & $-\infty$ & & ... & & ... & & $+\infty$ \\
\hline
$3-2x$ & & ... & & ... & ... & ... &\\
\hline
$x+1$ & & ... & ... & ... & & ... &\\
\hline
$\frac{3-2x}{x+1}$ & & ... & ... & ... & ... & ... &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Pour $x\in $.........................., le quotient est strictement négatif.\\
Pour $x\in $.................., le quotient est strictement positif.\\



\subsection{Résolution d'inéquations}
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $\frac{3-2x}{x+1}\geq 0$.\\
D'après le tableau de signes précédent, l'ensemble des solutions est l'intervalle ...................
\item On considère l'inéquation $$\frac{3x+1}{x-2}\leq 5$$.

\begin{itemize}
\nouvitem On détermine la ou les valeurs interdites : .......... c'est à dire ........
\nouvitem On écrit l'inéquation sous la forme d'une inéquation quotient nul :\par
...\par
...\par
...\par
...\par
\nouvitem On étudie le signe du quotient obtenu :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}

$x$ & $-\infty$ &  & ... & & ... & & $+\infty$ \\
\hline
$-2x+11$ & & ... & ... & ... & & ... & \\
\hline
$x-2$& & ... & & ... & ... & ... & \\
\hline
$\frac{-2x+11}{x-2}$ & & ... & ... &  ... & ... & ... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\nouvitem On détermine à partir du tableau les valeurs de $x$ solutions de l'inéquation :\par
...
\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{onehalfspace}
\end{document}
