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\title{Fonction inverse et étude de quotients, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonction inverse et étude de quotients - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{\'Etude de la fonction inverse}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle fonction \emphref{inverse} la fonction $f$ définie  pour tout nombre réel appartenant à $]-\infty ; 0[ \cup ]0;+\infty[$ par 
$$f(x)=\frac{1}{x}$$
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & -4 & -3 & -2 & -1 & $-\frac{1}{2}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
$f(x)$ & $\frac{-1}{4}$ & $\frac{-1}{3}$ & $\frac{-1}{2}$ & -1  & -2 & || & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{3}$ & $\frac{1}{4}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection*{Variations :}
La fonction inverse est :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] strictement décroissante sur $]-\infty ; 0[$ ;
\item[$\bullet$] strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
\end{itemize}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$f(x)$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
\hline

 &  & & $\Vert$ & $\searrow$ &  \\
$x$ & 0 &	& $\Vert$ &  & 0 \\
 & &$\searrow$ &$\Vert$ & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $0<x_1\leq x_2$.\\
On multiplie cette inégalité par $\frac{1}{x_1x_2}$ qui est positif.\\ On a donc $\frac{x_1}{x_1x_2}<\frac{x_2}{x_1x_2}$\\
c'est à dire $\frac{1}{x_2}< \frac{1}{x_1}$\\
 ce qui montre que la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $x_1<x_2<0$.\\
On multiplie cette inégalité par $\frac{1}{x_1x_2}$ qui est positif.\\ On a donc $\frac{x_1}{x_1x_2}< \frac{x_2}{x_1x_2}$\\
c'est à dire $\frac{1}{x_2}< \frac{1}{x_1}$\\
ce qui montre que la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection*{Signe :}
 La fonction inverse est négative sur $]-\infty;0[$ et positive sur $]0 ;+\infty[$ 
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|l|lcccr|}
 \hline
$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ &  & - & || & + & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage


\subsection*{Représentation graphique :}
La représentation graphique de la fonction inverse est appelée \emphref{hyperbole}.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsreferencescoursfig4.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Pour tout réel $x$, $f(-x)=-f(x)$. La fonction est dite \emphref{impaire}. Sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$ est symétrique par rapport à l'origine O du repère.
\end{sanscadre}



\section{
\'Etude de quotients}

\subsection{Valeurs interdites}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
on appelle \emphref{valeur interdite} d'une fonction $f$ donnée, tout réel $x$ n'appartenant pas à l'ensemble de définition de la fonction $f$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
 $f$ définie par $f(x)=\frac{3x+2}{-4x+5}$.\\
$f$ n'est pas définie si et seulement si $-4x+5=0$\\
c'est à dire $-4x=-5$ ou encore $x=\frac{5}{4}$.\\
$\frac{5}{4}$ est l'unique valeur interdite pour $f$\\
et l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}-\{\frac{5}{4}\}$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
\end{encadrer}

\newpage


\subsection{Exemples de résolution d'équations quotients}

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $$\frac{3x+2}{5x+3}=0.$$
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche de la valeur interdite :\\
$5x+3=0$ si et seulement si $5x=-3$ c'est  à dire $x=\frac{-3}{5}$.\\
$\frac{-3}{5}$ est donc la seule valeur interdite.
\nouvitem Résolution de l'équation quotient nul :\\
On résout l'équation sur $]-\infty;\frac{-3}{5}[\cup ]\frac{-3}{5};+\infty[$ :\\
On a $\frac{3x+2}{5x+3}=0$ si et seulement si $3x+2=0$ c'est  à dire $3x+2=0$ donc $x=\frac{-2}{3}$.\\ L'unique solution de l'équation est donc $\frac{-2}{3}$.
\end{itemize} 
\item On considère l'équation $$\frac{5x-2}{3x-1}=3.$$
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche des valeurs interdites :\\
$3x-1=0$ donne $x=\frac{1}{3}$.
\nouvitem Résolution de l'équation  :
$$\frac{5x-2}{3x-1}=\frac{3}{1}$$
équivaut par un produit en croix à :
$$1(5x-2)=3(3x-1)$$
c'est à dire $5x - 2 = 9x - 3$\\
donc $5x-2+3=9x$ donc $1=9x-5x$ ou encore $1=4x$ donc $x=\frac{1}{4}$. \\
L'unique solution est $\frac{1}{4}.$
\end{itemize}
\end{enumerate}


\subsection{Exemples d'étude de signe d'un quotient}

On considère le quotient $$\frac{3-2x}{x+1}$$.

\begin{itemize}
\nouvitem On détermine les valeurs interdites : \\
Ici $x+1=0$ c'est à dire $x=-1$.
\nouvitem On étudie le signe du numérateur et du dénominateur : \\
$3-2x=0$ pour $x=\frac{3}{2}$ et $x+1=0$ pour $x=-1$.
\end{itemize}

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}
$x$ & $-\infty$ & & -1 & & $\frac{3}{2}$ & & $+\infty$ \\
\hline
$3-2x$ & & + & & + & 0 & - &\\
\hline
$x+1$ & & - & 0 & + & & + &\\
\hline
$\frac{3-2x}{x+1}$ & &- & $\|$ & + & 0 & - &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Pour $x\in]-\infty;-1[\cup ]\frac{3}{2};+\infty[$, le quotient est strictement négatif.\\
Pour $x\in]-1;\frac{3}{2}[$, le quotient est strictement positif.\\


\subsection{Exemple de résolution d'inéquation quotient}
\begin{enumerate}
\item On considère l'inéquation $\frac{3-2x}{x+1}\geq 0$.\\
D'après le tableau de signes précédent, l'ensemble des solutions est l'intervalle $]-1;\frac{3}{2}]$.
\item On considère l'inéquation $$\frac{3x+1}{x-2}\leq 5$$.

\begin{itemize}
\nouvitem On détermine la valeur interdite : $x-2=0$ donne $x=2$.
\nouvitem On écrit l'inéquation sous la forme d'une inéquation quotient nul :
$$\frac{3x+1}{x-2}-5\leq 0$$
$$\frac{3x+1-5(x-2)}{x-2}\leq 0$$
$$\frac{3x+1-5x+10}{x-2}\leq 0$$
$$\frac{-2x+11}{x-2}\leq 0$$
\nouvitem On étudie le signe du quotient obtenu :\\
$-2x+11=0$ pour $x=\frac{11}{2}$
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}

$x$ & $-\infty$ &  & 2 & & 5,5 & & $+\infty$ \\
\hline
$-2x+11$ & & + &  & + & 0 & - & \\
\hline
$x-2$& & - & 0 & + &  & + & \\
\hline
$\frac{-2x+11}{x-2}$ & & - & $\|$ &  + & 0 & - & \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\nouvitem On détermine à partir du tableau les valeurs de $x$ solutions de l'inéquation :
$$S=\left[-\infty ; 2\right[ \cup \left[ 5,5;+\infty\right[$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}
