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\title{\'Equations de droites, cours pour la classe de seconde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}


\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Equations de droites - 2nde}}
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\begin{center}
\LARGE{\'Equations de droites, classe de 2nde}
\end{center}
\vspace{1cm}



\section{Notion d'équation de droites et équation réduite}
\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $\mathcal{D}$ une droite dans le plan muni d'un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.

On appelle \emphref{équation de la droite} $(\mathcal{D})$ ......................... ...................... ........................ .................................... ............................... ............................
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Dans un repère, l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que $y=mx+p$ avec $m$ et $p$ deux réels fixés est .............. ................
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ réels. On sait que sa représentation graphique, c'est à dire l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $y=ax+b$ est ........... ..................
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Théorème et définition}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère et $\mathcal{D}$ une droite. 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $(\mathcal{D})$ ........................ ....................... .................................. alors elle admet une équation de la forme :
$$.................$$
appelée \emphref{équation réduite} avec :
\begin{itemize}
\item $......$ : nombre réel appelé .................. ..........................
\item $......$ : nombre réel appelé .................. ..........................
\end{itemize}
\item[$\bullet$] si $\mathcal{D}$ ......................... ........................ ................................. alors elle admet une équation de la forme :
$$..........$$
avec $k$ nombre réel tel que tous les points de la droite $(\mathcal{D})$ ont pour abscisse $k$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Les droites parallèles à l'axe des abscisses ont une équation réduite de la forme $y=p$ où $p$ est un réel.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $2y-4x=2$.\\
Cette équation s'écrit .................... donc $y=$............. . L'ensemble des points $M$ est donc une droite.\\
Pour la tracer :\\
Pour $x=0$, $y=$............... donc $A(......;.......)$ est un point de la droite.\\
Pour $x=3$, $y=$............... donc $B(......;.......)$ est un point de la droite.\\
\end{sanscadre}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{equationsdroitessystemescours2ndefig3.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $A$ et $B$ les points d'abscisses respectives 0 et 1 (ces points existent puisque la droite est supposée non parallèle à l'axe des ordonnées). Notons $y_A$ et $y_B$ leurs ordonnées respectives. On a donc $A(.....;......)$ et $B(......;......)$. Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=(y_B-y_A)x+y_A$. On a $f(0)=.......$ et $f(1)=.......$ donc la représentation graphique de $f$ est la droite qui passe par $A$ et $B$, c'est  à dire la droite $\mathcal{D}$. Donc tout point vérifiant $...................$ avec $m=y_B-y_A$ et $p=y_A$ se trouve sur $\mathcal{D}$ et tout point de $\mathcal{D}$ a ses coordonnées qui vérifient l'équation $...................$.
\nouvitem Soit $k$ l'absisse du point $M$ d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses. Un point appartient à la droite si et seulement si il a la même abscisse que $M$ c'est  à dire si et seulement si ses coordonnées vérifient  $......$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ deux points tels que $...............$. Alors la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle a donc une équation de la forme $................$ et on a : $$m=...........................$$
et $$p=.....$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$x_A\neq x_B$ implique que la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. En outre, on a $y_B=................$ et $y_A=....................$ puisque $A$ et $B$ appartiennent à la droite. D'où $y_B-y_A=mx_B+p-(mx_A+p)=m(x_B-x_A)$ donc $m=............................$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par les points $A$ et $B$ de coordonnées $(1;3)$ et $(-2;5)$.

$x_A\neq x_B$ donc $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est donc de la forme $.............$.

$m=......................... ....................... ....................................$

donc son équation est $y=...............$.

Or $A\in\mathcal{D}$ donc ses coordonnées vérifient l'équation d'où $3=.....................$. et $p=....................$ c'est à dire $p=.............$.

L'équation est donc $................................$.
\end{sanscadre}


\section{Parallélisme et systèmes d'équations}


\begin{encadrer}{Propriété}
Deux droites $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$ d'équations réduites respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles si et seulement si $......................$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On considère les points A et B de la droite d'abscisses respectives $0$ et $1$. Ces deux points appartiennent à la droite $\mathcal{D}$ donc $y_A=.................=..............=...........$ et $y_B=.................=.............=.........$. Les coordonnées de A et B sont donc $(0;........)$ et $(1;.........)$ respectivement. De même, les points $A'$ et $B'$ de coordonnées respectives $(0;.......)$ et $(1;...........)$ appartiennent à la droite $\mathcal{D'}$. D'où, le vecteur $\vec{AB}$ de coordonnées $\coordvec{.....}{......}$ a la même direction que la droite $\mathcal{D}$ et le vecteur $\vec{A'B'}$ de coordonnées $\coordvec{......}{......}$ a la même direction que la droite $\mathcal{D'}$.
 
Les deux droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A'B'}$ ont la même direction c'est à dire  sont colinéaires c'est à dire encore si et seulement si $\frac{.....}{.....}=\frac{.....}{.....}$ ce qui s'écrit finalement $m=m'$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(d)$ la droite d'équation réduite $y=3x+2$ et A le point de coordonnées $(4;5)$.\\
On cherche l'équation de la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ passant par A.\\
$(d')$ est parallèle à $(d)$ donc admet une équation réduite $........$ et son coefficient directeur $m$ est ...... .\\
$A\in (d')$ donc ..................... d'où ................ et .................. .\\
D'où l'équation ............ .
\nouvitem On considère les droites $(d)$ et $(d')$ d'équations respectives $y=-2x+1$ et $y=x+5$.\\
Les coefficients directeurs sont différents donc les droites sont sécantes.\\
Pour trouver les coordonnées $(x;y)$ du point d'intersection M, on résout le système d'équations :
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\y&=x+5\end{aligned}\right.\]
Ce système équivaut à :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
\begin{minipage}{8cm}
\[\left\{\begin{aligned}..&..\\...&..\end{aligned}\right.\]
donc à :
\[\left\{\begin{aligned}..&..\\..&...\end{aligned}\right.\]
d'où 
\[\left\{\begin{aligned}..&..\\..&..\end{aligned}\right.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\[\left\{\begin{aligned}..&..\\...&...\end{aligned}\right.\]
\[\left\{\begin{aligned}..&..\\..&...\end{aligned}\right.\]
\[\left\{\begin{aligned}..&..\\..&..\end{aligned}\right.\]

\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}
Les coordonnées du point d'intersection sont donc $(\frac{-4}{3};\frac{11}{3};)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\end{document}
