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\title{\'Equations de droites, cours pour la classe de seconde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}


\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Equations de droites - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Notion d'équation de droites et équation réduite}
\pdfrowcolors{lightgray}
\defref{equationdroite}{}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $\mathcal{D}$ une droite dans le plan muni d'un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.

On appelle \emphref{équation de la droite} $(\mathcal{D})$ toute équation vérifiée par et uniquement par les coordonnées $(x;y)$ des points de la droite $(\mathcal{D})$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Dans un repère, l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que $y=mx+p$ avec $m$ et $p$ deux réels fixés est une droite.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=mx+p$. On sait que sa représentation graphique, c'est à dire l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $y=mx+p$ est une droite.
\end{sanscadre}


\defref{coeffdirecteur}{}\defref{ordonneeorigine}{}\defref{equationreduite}{}
\begin{encadrer}{Théorème et définition}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère et $\mathcal{D}$ une droite. 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $(\mathcal{D})$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet une équation de la forme :
$$y=mx+p$$
appelée \emphref{équation réduite} avec :
\begin{itemize}
\item $m$ : nombre réel appelé \emphref{coefficient directeur}.
\item $p$ : nombre réel appelé \emphref{ordonnée à l'origine}.
\end{itemize}
\item[$\bullet$] si $(\mathcal{D})$ est parallèle à l'axe des ordonnées elle admet une équation de la forme :
$$x=k$$
avec $k$ nombre réel tel que tous les points de la droite $(\mathcal{D})$ ont pour abscisse $k$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{equationsdroitessystemescours2ndefig3.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $A$ et $B$ les points d'abscisses respectives 0 et 1 (ces points existent puisque la droite est supposée non parallèle à l'axe des ordonnées). Notons $y_A$ et $y_B$ leurs ordonnées respectives. On a donc $A(0;y_A)$ et $B(1;y_B)$. Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=(y_B-y_A)x+y_A$. On a $f(0)=y_A$ et $f(1)=y_B$ donc la représentation graphique de $f$ est la droite qui passe par $A$ et $B$, c'est  à dire la droite $\mathcal{D}$. Donc tout point vérifiant $y=mx+p$ avec $m=y_B-y_A$ et $p=y_A$ se trouve sur $\mathcal{D}$ et tout point de $\mathcal{D}$ a ses coordonnées qui vérifient l'équation $y=mx+p$.
\nouvitem Soit $k$ l'absisse du point $M$ d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses. Un point appartient à la droite si et seulement si il a la même abscisse que $M$ c'est  à dire si et seulement si ses coordonnées vérifient  $x=k$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ deux points tels que $x_A\neq x_B$. Alors la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle a donc une équation de la forme $y=mx+p$ et on a : $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$x_A\neq x_B$ implique que la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. En outre, on a $y_B=mx_B+p$ et $y_A=mx_A+p$ puisque $A$ et $B$ appartiennent à la droite. D'où $y_B-y_A=mx_B+p-(mx_A+p)=m(x_B-x_A)$ donc $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par les points $A$ et $B$ de coordonnées $(1;3)$ et $(-2;5)$.

$x_A\neq x_B$ donc $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est donc de la forme $y=mx+p$.

$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-3}{(-2)-1}=\frac{-2}{3}$

donc son équation est $y=\frac{-2}{3}x+b$.

Or $A\in\mathcal{D}$ donc ses coordonnées vérifient l'équation d'où $3=\frac{-2}{3}\times 1+p$. et $p=3+\frac{2}{3}$ c'est à dire $p=\frac{11}{3}$.

L'équation est donc $y=\frac{-2}{3}x+\frac{11}{3}$.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme qui affiche l'équation d'une droite passant par deux points A et B de coordoonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ donnés :

\begin{algorithm}
\Donnees{$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$\\}
\Traitement{
\eSi{$x_A \neq x_B$}{
$m$ prend la valeur de $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$\\
$p$ prend la valeur de $y_A-mx_A$\\
\Retour{$y=mx+p$}}
{\Retour{$x=x_A$}}}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(d)$ la droite passant par $A(1;3)$ et $B(-2;5)$. Pout TI et casio, on notera $E$ pour $x_A=1$, $F$ pour $y_A=3$, $G$ pour $x_B=-2$ et $H$ pour $y_B=5$ pour cause de limitations techniques dans les possibilités pour nommer un les variables.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{4cm}
\begin{sanscadrec}{TI}{green}
\noindent Prompt $E$,$F$,$G$, $H$\\
If $E<>G$\\
Then\\
$(H-F)/(G-E)\vartriangleright M$\\
$F-M*E\vartriangleright P$\\
Disp "M=",$M$\\
Disp "P=",$P$\\
Else\\
Disp "x=",E\\
End\\
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{4cm}
\begin{sanscadrec}{Casio}{blue}
\noindent "$E$":?$\rightarrow E$\\
"$F$":?$\rightarrow F$\\
"$G$":?$\rightarrow G$\\
"$H$":?$\rightarrow H$\\
If $E<>G$\\
Then\\
$(H-F)/(G-E)\rightarrow M$\\
$F-M*E\rightarrow P$\\
"$M$":$M$\includegraphics[width=0.3cm]{affichercasio.png}\\
"$P$":$P$\includegraphics[width=0.3cm]{affichercasio.png}\\
Else\\
"$X=$":$E$\includegraphics[width=0.3cm]{affichercasio.png}\\
ifEnd\\
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{7cm}
\begin{sanscadrec}{XCas}{magenta}
\begin{verbatim}
saisir("xA =",xA);
saisir("yA =",yA);
saisir("xB =",xB);
saisir"(yB =",yB);
if (xA!=xB) faire
  m:=(yB-yA)/(xB-xA);
  p:=yA-m*xA;
  afficher("m=",m);
  afficher("p=",p);
sinon
  afficher("x=",xA);
fsi;
\end{verbatim}
\end{sanscadrec}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\newpage

\section{Parallélisme et systèmes d'équations}

 
\begin{encadrer}{Propriété}
Deux droites $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$ \faireref{equationreduite}{d'équations réduites} respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles si et seulement si $m=m'$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On considère les points A et B de coordonnées respectives $(0;p)$ et $(1;m+p)$. Ces deux points appartiennent àla droite $\mathcal{D}$ car $m \times x_A + p=m\times 0 + p = p = y_A$ et $m\times x_B + p= m + p =y_B$. De même, les points $A'$ et $B'$ de coordonnées respectives $(0;p')$ et $(1;m'+p')$ appartiennent à ma droite $\mathcal{D'}$. D'où, le vecteur $\vec{AB}$ de coordonnées $\coordvec{1}{m}$ a la même direction que la droite $\mathcal{D}$ et le vecteur $\vec{A'B'}$ de coordonnées $\coordvec{1}{m'}$ a la même direction que la droite $\mathcal{D'}$.
 
Les deux droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A'B'}$ ont la même direction c'est à dire  sont colinéaires c'est à dire encore si et seulement si $1\times m=1\times m'$ ce qui s'écrit finalement $m=m'$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(d)$ la droite d'équation réduite $y=3x+2$ et A le point de coordonnées $(4;5)$.\\
On cherche l'équation de la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ passant par A.\\
$(d')$ est parallèle à $(d)$ donc admet une équation réduite $y=mx+p$ et son coefficient directeur $m$ est 3 .\\
$A\in (d')$ donc $y_A=3x_A+p$ d'où $5=3\times 4+p$ et $p=5-12=-7$.\\
D'où l'équation $y=3x-7$.
\nouvitem On considère les droit
On considère les droites $(d)$ et $(d')$ d'équations respectives $y=-2x+1$ et $y=x+5$.\\
Les coefficients directeurs sont différents donc les droites sont sécantes.\\
Pour trouver les coordonnées $(x;y)$ du point d'intersection M, on résout le système d'équations :
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\y&=x+5\end{aligned}\right.\]
Ce système équivaut à :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
\begin{minipage}{8cm}
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\-2x+1&=x+5\end{aligned}\right.\]
donc à :
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\-2x-x&=5-1\end{aligned}\right.\]
d'où 
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\-3x&=4\end{aligned}\right.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2x+1\\x&=\frac{-4}{3}\end{aligned}\right.\]
\[\left\{\begin{aligned}y&=-2\frac{-4}{3}+1\\x&=\frac{-4}{3}\end{aligned}\right.\]
\[\left\{\begin{aligned}y&=\frac{11}{3}\\x&=\frac{-4}{3}\end{aligned}\right.\]

\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}
Les coordonnées du point d'intersection sont donc $(\frac{-4}{3};\frac{11}{3};)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\end{document}
