Equations de droites, cours, classe de 2nde

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Notion d'équation de droite et équation réduite

Définition :

Soit $(\mathcal{D})$ une droite dans le plan muni d'un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.
On appelle ____équation de la droite $\mathcal{D}$ tout équation vérifiée par et uniquement par les coordonnées $(x;y)$ des points de la droite $(\mathcal{D})$.

Propriété :

Soit m et p deux réels. Dans un repère, l'ensemble des points M de coordonnées $(x;y)$ telles que $y=mx+p$ est ____une droite.

Preuve :

Soit f la fonction affine définie par $f(x)=mx+p$. On sait que sa représentation graphique, c'est à dire l'ensemble des points M $(x;y)$ tels que $y=mx+p$ est une droite.

Exemple :

On considère l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M(x;y)$ tels que $5x-2y=4$.
____$5x-2y=4$ équivaut à $-2y=-5x+4$ et à $y=\frac{-5x+4}{-2}$ c'est à dire $y=\frac{5}{2}x-2$.
Alors $\mathcal{E}$ est la droite d'équation $y=\frac{5}{2}x-2$.

Théorème et définition :

Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère et $(\mathcal{D}$ une droite.

Si $(\mathcal{D})$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet une équation de la forme ____ $y=mx+p$ appelée équation réduite avec :
- $m$ : nombre réel appelé ____coefficient directeur;
- $p$ : nombre réel appelé ____ordonnée à l'origine ;
Si $(\mathcal{D})$ est parallèle à l'axe des ordonnées, alors elle admet une équation de la forme ____ $x=k$ avec $k$ nombre réel tel que tous les points de la droite ont pour abscisse $k$.

Propriété :

Soient A et B de points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$. Alors la droite (AB) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Elle a donc une équation de la forme $y=mx+p$ et on a :
____$$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

Exemple : [Déterminer l'équation réduite d'une droite dont on connaît les coordonnées de deux points]

Soit $(\mathcal{D})$ la droite passant par les points A et B de coordonnées (1 ; 3) et (-2 ; 5).
____$x_A\neq x_B$ donc la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. L'équation réduite est donc de la forme $y=mx+p$.
$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-3}{(-2)-1}=\frac{-2}{3}$
donc son équation réduite est de la forme $y=\frac{-2}{3}x+p$.
Or A appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l'équation de la droite d'où $3=\frac{-2}{3}\times 1+p$ et $p=3+\frac{2}{3}$ c'est à dire $p=\frac{11}{3}$.
L'équation est donc $y=\frac{-2}{3}x+\frac{11}{3}$.

Algorithmique :

Algorithme qui affiche une équation de la droite passant par deux points A et B de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ donnés :
Données :$x_A$; $y_A$ ; $x_B$ ; $y_B$.
Début traitement :
Si $x_A\neq x_B$ Alors
Affecter à $m$ la valeur de $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
Affecter à $p$ la valeur de $y_A-mx_A$
Afficher $y=mx+p$
sinon
Afficher $x=x_A$
Fin
Fin

II - Parallélisme et systèmes d'équations

Propriété :

Deux droites (d) et (d') d'équations réduites respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles si et seulement si ____$m=m'$.

Preuve :

____ On considère les points A et B de coordonnées respectives $(0;p)$ et $(1;m+p)$.
Ces deux points appartiennent à la droite (d) car $m\times x_1+m\times 0+p=p=y_A$ et $m\times x_B+p=m+p=y_B$.
De même, les points A' et B' de coordonnées respectives $(0;p')$ et $(1;m'+p')$ appartiennent à la droite (d')
Le vecteur $\vec{AB}$ de coordonnées $(1;m)$ a la même direction que la droite (d) et le vecteur $\vec{A'B'}$ de coordonnées $(1;m')$ a la même direction que la droite (d').
Les deux droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A'B'}$ sont la même direction c'est à dire sont colinéaires c'est à dire encore
si et seulement si $\frac{1}{m'}=\frac{1}{m}$ ce qui s'écrit finalement $m=m'$.

Exemples :

[Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite donnée et passant par un point]
Soit (d) la droite d'équation résuite $y=3x+2$ et A le point de coordonnées $(4;5)$.
On cherche l'équation de (d') parallèle à (d) passant par A.
____(d') est parallèle à (d) donc admet une équation réduite $y=mx+p$ et son coefficient directeur $m$ est 3.
$A\in(d')$ donc $y_A=3x_A+p$ d'où $5=3\times 4+p$ et $p=5-12=-7$.
D'où l'équation $y=3x-7$.
[Déterminer si deux droites sont sécantes et les coordonnées de leur intersection ]
On considère les droites (d) et (d') d'équations respectives $y=-2x+1$ et $y=x+5$.
____Les coefficients directeurs sont différents donc les droites sont sécantes.
Pour trouver les coordonnées $(x;y)$ du point d'intersection M, on résout le système d'équations : $$\left \{ \begin{array}{c} y=-2x+1 \\ y=x+5\end{array} \right.$$ Le point d'intersection a pour coordonnées $(\frac{-4}{3};\frac{11}{3})$.