\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=1.5cm, bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{eurosym}

%\setlength\textwidth{15cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{22.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}


\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}



\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{\'Echantillonnage et estimation, cours, classe de 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Echantillonnage et estimation, cours, classe de seconde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
 {\Large \textbf{\'Echantillonnage, cours, classe de 2nde}}
\end{center}


\pdfrowcolors{}

\begin{encadrer}{Définition}
On considère une population d'individus.
Lorsque l'on connaît ou lorsque l'on fait une hypothèse sur la proportion $p$ d'individus ayant une caractéristique donnée dans une population et que l'on effectue un nombre $n$ de tirages avec remise dans cette population, la fréquence observée appartient avec une certaine probabilité à un intervalle appelé \emphref{intervalle de fluctuation} de centre $p$ et de longueur qui diminue lorsque $n$ augmente. On parle alors de situation \emphref{d'échantillonnage}.
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Pour tout entier naturel $n$. Alors quand $n$ \og{}devient grand\fg{} l'intervalle 
$$I_n=[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}]$$
contient la fréquence $f$ d'apparition du caractère étudié d'un échantillon avec une probabilité qui se rapproche de 0,95. On dit que c'est un \emphref{intervalle de fluctuation} au seuil de 95\%.\par 
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Remarque}
En pratique, on utilise cette propriété dès que les conditions $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ sont vérifiées.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Test d'hypothèse}
On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractère est $p$.On fait l'hypothèse \og{}La proportion dans la population est $p$\fg{}. On observe la fréquence $f$ d'apparition de ce caractère sur un échantillon de taille $n$ et on calcule l'intervalle de fluctuation $I$ au seuil de 95\%.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f\in I$, au risque de 5\% d'erreur (ou au seuil de confiance de 95\%), on accepte l'hypothèse que la proportion dans la population est $f$.
\nouvitem Si $f\in I$, au risque de 5\% d'erreur on rejette l'hypothèse que la proportion dans la population est $p$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Un fournisseur d'accès à l'internet affirme que, sur sa hotline, seuls 20\% des clients attendent plus de 5 minutes pour obtenir un interlocuteur. Une association de consommateurs interroge au hasard 200 personnes  ayant eu à s'adresser à cette hotline. Parmi ces personnes, 53 ont dû attendre plus de 5 minutes. Peut-on mettre en doute l'affirmation du fournisseur d'accès ?\par 
L'hypothèse à tester est \og{}20\% des clients attendent plus de 5 minutes\fg{}.\par 
$\frac{53}{200}=0,265$ et $I=[0,2-\frac{1}{\sqrt{200}};0,2+\frac{1}{\sqrt{200}}]=[0,129;0,271]$.\par 
Or $0,265\in I$ donc au seuil de confiance de 95\%, on ne peut pas mettre en doute l'affirmation du fournisseur d'accès.
\end{sanscadre}


\section{Estimation}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ et $F_n=\frac{X_n}{n}$ où $p$ est la proportion inconnue d'apparition d'un caractère. 
\begin{itemize}
\nouvitem Alors, pour $n$ assez grand, $P(p\in[F_n-\frac{1}{\sqrt{n}};F_n+\frac{1}{\sqrt{n}}])\geq 0,95$. 
\nouvitem Si on appelle $f$ la fréquence d'apparition du caractère sur un échantillon de taille $n$, Alors l'intervalle $[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$ est appelé \emphref{intervalle de confiance de la proportion $p$ inconnue au niveau de confiance 0,95}.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Un intervalle de confiance au niveau de 95\% a une amplitude de $\frac{2}{\sqrt{n}}$. L'amplitude diminue lorsque la taille $n$ de l'échantillon augmente.
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple}
Un candidat à une élection municipale fait effectuer un sondage. Sur 100 personnes de la ville interrogées, 63 déclarent vouloir voter pour lui.\par 
$I=[0,63-\frac{1}{\sqrt{100}};0,63+\frac{1}{\sqrt{100}}]=[0,53;0,73]$\par 
On peut donc estimer que la proportion de personnes dans la ville voulant voter pour lui est comprise dans l'intervalle I=[0,53;073].
\end{sanscadre}

\end{document}
