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\author{F.Gaudon}
\title{\'Etudes de signes et inéquations, cours de seconde}


\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}

\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}


\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\begin{document}

\begin{center}
\huge Inéquations et études de signes, cours, 2nde
\end{center}

\section{\'Etude du signe des fonctions affines}


\begin{sanscadre}{Synthèse}
On résume l'étude dans un \emphref{tableau de signe} :

\begin{flushleft}
Si $a>0$
\end{flushleft}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|lcccr|}
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & ... & \\
$ax+b$ & & & & & \\

\end{tabular}
\end{center}

\begin{flushleft}
Si $a<0$
\end{flushleft}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|lcccr|}
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & ... & ... & ... & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\section{\'Etudes de signes de produits et de quotients}

\subsection{Exemple d'étude de signe d'un produit}
On considère le produit $$(x-3)(1-x)$$.

On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de $x-3$ et de $1-x$, puis on utilise la règle des signes.

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}
$x$ & $-\infty$ & & ... & & ... & & $+\infty$ \\
\hline
$x-3$ & & ... & & ... & ... & ... & \\
\hline
$1-x$ & & ... & ... & ... & & ... & \\
\hline
$(x-3)(1-x)$ & & ... & & ... & & ... &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\subsection{Exemple d'étude de signe d'un quotient}
On considère le quotient $$\frac{3-2x}{x+1}$$.

\begin{itemize}
\nouvitem On détermine les \emphref{valeurs interdites} : ici, on doit avoir ............ c'est à dire ............
\nouvitem On procède de même que pour l'étude de signe d'un produit.
\end{itemize}

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}
$x$ & $-\infty$ & & ... & & ... & & $+\infty$ \\
\hline
$3-2x$ & & ... & & ... & ... & ... &\\
\hline
$x+1$ & & ... & ... & ... & & ... &\\
\hline
$\frac{3-2x}{x+1}$ & & ... & ... & ... & ... & ... &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}



\section{Résolution d'inéquations}
\pdfrowcolors{lightgray}

\subsection{Exemple de résolution d'inéquations}

On considère l'inéquation $$\frac{3x+1}{x-2}\leq 5$$.

\begin{itemize}
\nouvitem On détermine les valeurs interdites : .......... c'est à dire ........
\nouvitem On écrit l'inéquation sous la forme d'une inéquation quotient nul :\par
...\par
...\par
...\par
...\par
\nouvitem On étudie le signe du quotient obtenu :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lcccccr|}

$x$ & $-\infty$ &  & ... & & ... & & $+\infty$ \\
\hline
$-2x+11$ & & ... & ... & ... & & ... & \\
\hline
$x-2$& & ... & & ... & ... & ... & \\
\hline
$\frac{-2x+11}{x-2}$ & & ... & ... &  ... & ... & ... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\nouvitem On détermine à partir du tableau les valeurs de $x$ solutions de l'inéquation :\par
...
\end{itemize}

\subsection{Synthèse sur les inéquations}
\begin{sanscadre}{Démarche de résolution}
Pour résoudre une inéquation donnée, on utilise des développements, des factorisations ou des transpositions d'un membre à l'autre pour se ramener à :
\begin{itemize}
\nouvitem ...
\nouvitem ...
\nouvitem ...
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$(x+2)^2 \leq 9$\par
...\par
...\par
...\par
...\par
$(x-1)(x+5) \leq 0$\par
\noindent C'est une inéquation produit nul. On étudie donc le signe du produit $(x-1)(x+5)$ :

\noindent ............ pour .......... et ......... pour .............


\noindent On obtient le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|cccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & ... & & ... & & $+\infty$ \\
\hline
$x-1$ & & ... & & ... & ... & ... & \\
\hline
$x+5$ & & ... & ... & ... & & ... & \\
\hline
$(x-1)(x+5)$ & & ... & ... & ... & ... & ... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'ensemble des solutions est donc l'ensemble .........
\end{sanscadre}
 
\end{document}