Généralités sur les fonctions, classe de seconde

F.Gaudon

30 novembre 2014

Table des matières

1 Vocabulaire
2 Transformations d’écritures
3 Intervalles de nombres réels
4 Représentation graphique
 4.1 Notion de représentation graphique
 4.2 Application à la résolution graphique d’équations

1 Vocabulaire

Définition :

  • Une fonction est un procédé qui permet d’associer à tout nombre x, élément d’un ensemble E « de départ » , un nombre unique noté f(x).
  • L’ensemble E est l’ensemble de définition de la fonction f.
  • Le nombre f(x) est appelé l’image du nombre x par la fonction f.
  • Le nombre x est appelé l’antécédent du nombre f(x).

Exemple :

Soit g la fonction définie par g(x) = x2 + 3x.

On a :

g(-5) = (-5)2 + 3 × (-5)
g(-5) = 25 + (-15)
g(-5) = 10
-5 a donc pour image 10 par la fonction g ce qui signifie aussi que -5 est un antécédent de 10 par la fonction g.

Algorithmique :

Algorithme de calcul de l’image d’un nombre par une fonction :

Entrées : x, f
Début traitement
    fx prend la valeur f(x) ;
Fin traitement.
Sorties : fx
Entrer xA :

Remarque :

Pour toute fonction f, un nombre x a une et une seule image par f. Par contre, tout nombre n’a pas d’antécédent par f ou peut en avoir plusieurs. Par exemple, si f est la fonction définie pour tout réel x par f(x) = x2, 3 a pour unique image 9 par f mais 9 a deux antécédents qui sont -3 et 3 par f.

Exemple :

On peut utiliser un tableau de valeurs pour représenter des nombres et leurs images par une fonction. Par exemple pour la fonction g définie par g(x) = x2 + 3x :

x -2 -1 0 1,5 2
g(x) -2 -2 0 6,75 10

Attention, tous les tableaux de valeurs ne sont pas des tableaux de valeur de fonctions. Par exemple, le tableau suivant :

x -2 -2 0 1,5 2
y -2 -4 1 3 6

n’est pas le tableau de valeurs d’une fonction car pour x = -2, y prend deux valeurs différentes.

Algorithmique :

La construction du tableau de valeurs d’une fonction f définie sur l’intervalle [a; b] avec un pas de h se traduit par l’algorithme suivant :

Entrées : a,b,h,f
Début traitement
    pour x allant de a à b par pas de h faire
        fx prend la valeur de f(x) ;
        Afficher x et fx.
    fin
Fin traitement.

2 Transformations d’écritures

Propriété :

Pour tous les nombres réels a, b et k :

k(a + b) = ka + kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Propriété :

Pour tous les nombres réels a et b on a les identités remarquables suivantes :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2 2 2 (a - b) = a - 2ab + b
2 2 (a - b)(a + b) = a - b

3 Intervalles de nombres réels

Définition :

On appelle ensemble des nombres réels, noté ℝ, l’ensemble des abscisses des points de toute droite graduée (par exemple 1, -3, √ -- 2, π, etc.) ;

Définitions :

Soient a et b deux nombres réels avec a inférieur strictement à b.

  • [a; b] est l’ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b. On l’appelle intervalle fermé d’extrémités a et b.
  • ]a; b[ est l’ensemble des réels x tels que a < x < b. On l’appelle intervalle ouvert d’extrémités a et b.
  • [a; b[ est l’ensemble des réels x tels que a ≤ x < b. Cet intervalle est dit ouvert en b et fermé en a.

Exemples de représentation sur une droite graduée :

]a; b[

PIC

[a; b]

PIC

4 Représentation graphique

4.1 Notion de représentation graphique

Définition :

  • Soit f une fonction définie sur un ensemble E de ℝ. On appelle courbe représentative ou représentation graphique de la fonction f l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x; f(x)) dans un repère du plan avec x parcourant l’ensemble de définition E .
  • Un point M de coordonnées (x; y) appartient donc à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation y = f(x) appelée équation de la courbe représentative Cf de la fonction f.

Exemple :

Soit C la représentation graphique de la fonction g définie par g(x) = x2 + 3x sur l’intervalle [-2; 3].

D’après le tableau de valeurs vu plus haut, les points M1, M2, M3 de coordonnées respectives (-2; -2), (-1; -2), (0; 0) sont des points de la courbe représentative de la fonction g

D’où la représentation graphique :

F.Gaudon, Créé avec GeoGebra

M appartient à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation y = f(x).
Changer la valeur de a : lorque a prend des valeurs réelles, l'ensemble des points M d'abscisse a et d'ordonnée f(a) constitue la courbe représentative de f.

Algorithmique :

Exemple :

Test de l’appartenance d’un point de coordonnées (xA; yA) à la courbe représentative de f : x↦→x2 + 3x. xA et yA seront notées respectivement A et B pour des raisons de limitation technique du nommage des variables sur TI et Casio.

TI :

Prompt A,B
If A2 + 3 * A = B
Then
Disp "OUI"
Else
Disp "NON"
Casio :

”A”? → A
”B”? → B
If A2 + 3 * A = B
Then "OUI"
Else "NON"
ifEnd
XCas :

saisir("xA=",xA);  
saisir("yA=",yA);  
si(xA^2+3*xA==yA) alors  
  ap:="Oui";  
sinon  
  ap:="Non";  
afficher(ap);

Entrer xA :
Entrer yA :

Propriété :

Soit C la courbe représentative d’une fonction f.

  • L’image f(x) d’un nombre x par f se lit sur l’axe des ordonnées : c’est l’ordonnée du point d’intersection de la courbe C avec la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point de coordonnées (x; 0) ;
  • les antécédents s’il y en a de tout nombre y par f se lisent sur l’axe des abscisses : ce sont les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; y).

Exemple :

Soit la courbe ci-dessous représentant une fonction f :

F. GAUDON, Créé avec GeoGebra

Changer la valeur de b : b peut avoir un ou plusieurs ou aucun antécédent par la fonction f.

4.2 Application à la résolution graphique d’équations

Propriété :

Soit k un nombre réel, f une fonction et Cf sa représentation graphique dans un repère. Les solutions de l’équation f(x) = k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; k).

Exemple :

Sur la figure ci-dessous, est représentée la fonction f définie par f(x) = x2.

PIC

La droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0 ;4) coupe la courbe en deux points A et B d’abscisses -2 et 2. L’équation f(x) = 4 a donc pour solutions 2 et -2.